Considere a série de potências
. Sabemos que para
a série é convergente, e para
a série é divergente.
Podemos afirmar se a série
converge ou diverge? Justifique.
Podemos afirmar se a série
Passo 1
O enunciado trata da série de potências
, informa que para
ela converge e para
diverge. O conteúdo principal é o conceito de raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
Pela teoria de séries de potências, existe um raio de convergência
tal que a série converge absolutamente para
e diverge para
. Como a série converge em
, temos
, ou seja,
. Como a série diverge em
, temos
, ou seja,
.
Passo 3
Combinando as desigualdades obtemos
Para
temos
, logo
e a série converge absolutamente quando
.
Resposta
A série
converge.