Considere a série de potências sumn=0^infty cn x^n. Sabemos que para x=2 a série é convergente, e para x=-4 a série é divergente.
Podemos afirmar se a série sumn=0^infty cn converge ou diverge? Justifique.

Passo 1

O enunciado trata da série de potências sumn=0^inftycn x^n, informa que para x=2 ela converge e para x=-4 diverge. O conteúdo principal é o conceito de raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Pela teoria de séries de potências, existe um raio de convergência R tal que a série converge absolutamente para |x| e diverge para |x|>R. Como a série converge em x=2, temos |2|, ou seja, R>=2. Como a série diverge em x=-4, temos |-4|>R, ou seja, R<=4.

Passo 3

Combinando as desigualdades obtemos 2<= R<=4 Para x=1 temos |1|=1<2<= R, logo |1| e a série converge absolutamente quando x=1.

Resposta

A série sumn=0^inftycn converge.

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