Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
f(x)=\frac{6 x^{5}+2 x^{2}}{4 x^{3}-e^{x}}\, para valores de x em que o denominador seja diferente de zero, aplicando corretamente a regra quociente.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{6 x^{5}+2 x^{2}}{4 x^{3}-e^{x}}
e pede a sua derivada para os valores de x em que o denominador é diferente de zero. Informação relevante a listar:
  • Numerador: 6 x^{5}+2 x^{2}.
  • Denominador: 4 x^{3}-e^{x}.
  • Domínio de interesse: todos os x tais que 4 x^{3}-e^{x}\neq 0.
  • Pedido: calcular a derivada da função usando a regra do quociente.

Passo 2

Vamos identificar as duas funções que compõem o quociente (para aplicar a regra do quociente):
u(x)=6 x^{5}+2 x^{2},\qquad v(x)=4 x^{3}-e^{x}.
A regra do quociente diz: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\,u'-u\,v'}{v^{2}}.
Explicando a fórmula: u' é a derivada de u em relação a x, v' é a derivada de v; o numerador é a diferença entre v vezes u' e u vezes v'; o denominador é v ao quadrado. Essa fórmula vem diretamente da combinação da regra do produto com a regra da cadeia e da inversa, mas aqui vamos apenas aplicá‑la passo a passo.

Passo 3

Calcular u'(x) derivando termo a termo. Lembre que a regra para potência diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, e que derivada de uma soma é soma das derivadas:
  • \dfrac{d}{dx}(6 x^{5})=6\cdot 5 x^{4}=30 x^{4}.
  • \dfrac{d}{dx}(2 x^{2})=2\cdot 2 x=4 x.
    Portanto
u'(x)=30 x^{4}+4 x.

Passo 4

Calcular v'(x). Derivada de 4 x^{3} é 4\cdot 3 x^{2}=12 x^{2}. Derivada de -e^{x} é -e^{x} porque \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Assim
v'(x)=12 x^{2}-e^{x}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do quociente (sem ainda simplificar demais). Substituindo u,u',v,v' na fórmula:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{(4 x^{3}-e^{x})(30 x^{4}+4 x)-(6 x^{5}+2 x^{2})(12 x^{2}-e^{x})}{(4 x^{3}-e^{x})^{2}}.
Aqui já está explícito o numerador como diferença de dois produtos; o denominador é o quadrado do denominador original.

Passo 6

Expandir cuidadosamente o numerador para simplificar. Primeiro expandimos cada produto:
Produto 1:
(4 x^{3}-e^{x})(30 x^{4}+4 x)=120 x^{7}+16 x^{4}-30 x^{4}e^{x}-4 x e^{x}.
Produto 2:
(6 x^{5}+2 x^{2})(12 x^{2}-e^{x})=72 x^{7}+24 x^{4}-6 x^{5}e^{x}-2 x^{2}e^{x}.
Agora o numerador é Produto 1 menos Produto 2. Subtraindo termo a termo:
\begin{aligned} \text{numerador} &=\big(120 x^{7}+16 x^{4}-30 x^{4}e^{x}-4 x e^{x}\big)\\\ &\quad -\big(72 x^{7}+24 x^{4}-6 x^{5}e^{x}-2 x^{2}e^{x}\big). \end{aligned}

Passo 7

Agrupando e simplificando os termos semelhantes no numerador:
  • Para x^{7}: 120 x^{7}-72 x^{7}=48 x^{7}.
  • Para x^{4} (sem e^{x}): 16 x^{4}-24 x^{4}=-8 x^{4}.
  • Para os termos com e^{x}: -30 x^{4}e^{x}-4 x e^{x} -(-6 x^{5}e^{x}-2 x^{2}e^{x})
    que é igual a
    -30 x^{4}e^{x}-4 x e^{x}+6 x^{5}e^{x}+2 x^{2}e^{x}.
    Colocando tudo junto obtemos o numerador simplificado:
48 x^{7}-8 x^{4}+e^{x}\big(6 x^{5}-30 x^{4}+2 x^{2}-4 x\big).

Passo 8

Portanto a derivada está dada pela fração cujo numerador é o polinômio e termos com e^{x} obtidos acima, e cujo denominador é (4 x^{3}-e^{x})^{2}. Lembre-se: esta expressão vale somente para x tais que 4 x^{3}-e^{x}\neq 0, pois o denominador original não pode ser zero.

Resposta

f'(x)=\frac{48 x^{7}-8 x^{4}+e^{x}\big(6 x^{5}-30 x^{4}+2 x^{2}-4 x\big)}{(4 x^{3}-e^{x})^{2}}

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