Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada para os valores de
em que o denominador é diferente de zero. Informação relevante a listar:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Domínio de interesse: todos os
tais que . - Pedido: calcular a derivada da função usando a regra do quociente.
Passo 2
Vamos identificar as duas funções que compõem o quociente (para aplicar a regra do quociente):
A regra do quociente diz: se
então
Explicando a fórmula:
é a derivada de
em relação a
,
é a derivada de
; o numerador é a diferença entre
vezes
e
vezes
; o denominador é
ao quadrado. Essa fórmula vem diretamente da combinação da regra do produto com a regra da cadeia e da inversa, mas aqui vamos apenas aplicá‑la passo a passo.
Passo 3
Calcular
derivando termo a termo. Lembre que a regra para potência diz que
, e que derivada de uma soma é soma das derivadas:
-
. -
.
Portanto
Passo 4
Calcular
. Derivada de
é
. Derivada de
é
porque
. Assim
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do quociente (sem ainda simplificar demais). Substituindo
na fórmula:
Aqui já está explícito o numerador como diferença de dois produtos; o denominador é o quadrado do denominador original.
Passo 6
Expandir cuidadosamente o numerador para simplificar. Primeiro expandimos cada produto:
Produto 1:
Produto 2:
Agora o numerador é Produto 1 menos Produto 2. Subtraindo termo a termo:
Passo 7
Agrupando e simplificando os termos semelhantes no numerador:
- Para
: . - Para
(sem ): . - Para os termos com
:
que é igual a
.
Colocando tudo junto obtemos o numerador simplificado:
Passo 8
Portanto a derivada está dada pela fração cujo numerador é o polinômio e termos com
obtidos acima, e cujo denominador é
. Lembre-se: esta expressão vale somente para
tais que
, pois o denominador original não pode ser zero.