Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas com a regra da cadeia.
f(x)=-\operatorname{tg}\left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x) = -\operatorname{tg}\!\bigl(x^{2}\bigr).
Informações dadas:
\text{função: } f(x)=-\operatorname{tg}\!\bigl(x^{2}\bigr).çã
Pergunta: calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Reescrevo a função de uma forma que facilita aplicar a regra da cadeia. Observando o sinal negativo, posso escrever
f(x) = -\,\tan\!\bigl(x^{2}\bigr),
já que \operatorname{tg} é o mesmo que \tan. Vou ver f como composição de duas funções:
\text{interna: } h(x)=x^{2},\qquad \text{externa: } g(u)=-\tan(u),
de modo que f(x)=g(h(x)).

Passo 3

Aplico a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se f(x)=g(h(x)), então
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Explicando: h(x) é a função interna (depende de x), g(u) é a função externa (dependendo de uma variável genérica u). Primeiro derivamos g em relação a u, avaliamos em u=h(x), e multiplicamos pela derivada de h em relação a x.

Passo 4

Derivo a função externa g(u)=-\tan(u) em relação a u. Sabemos que a derivada de \tan(u) é \operatorname{sec}^{2}(u), isto é,
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u)=\frac{1}{\cos^{2}(u)}.
Como g(u)=-\tan(u), sua derivada é
g'(u)=-\operatorname{sec}^{2}(u).
Aqui expliquei o que cada símbolo significa: \operatorname{sec}(u) é 1/\cos(u), então \operatorname{sec}^{2}(u)=1/\cos^{2}(u).

Passo 5

Derivo a função interna h(x)=x^{2}. A regra básica para potências diz que, para h(x)=x^{n},
h'(x)=n x^{n-1}.
Aplicando com n=2,
h'(x)=2x.

Passo 6

Agora junto tudo pela regra da cadeia:
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Substituindo g' e h:
f'(x) = -\operatorname{sec}^{2}\bigl(h(x)\bigr)\cdot 2x = -\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.
Organizando (colocando o coeficiente na frente),
f'(x) = -2x\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr).
Se você preferir escrever sem \operatorname{sec}, use a identidade \operatorname{sec}^{2}(t)=\dfrac{1}{\cos^{2}(t)}, obtendo a forma alternativa
f'(x) = -\dfrac{2x}{\cos^{2}\bigl(x^{2}\bigr)}.

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre identifique a função interna h(x) e a externa g(u), escreva claramente g'(u) e h'(x) e depois substitua u=h(x). Aqui o sinal negativo ficou apenas multiplicando o resultado da derivada da tangente.

Resposta

-2x\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)

Exercícios relacionados