Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas com a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas:
Pergunta: calcular
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Reescrevo a função de uma forma que facilita aplicar a regra da cadeia. Observando o sinal negativo, posso escrever
já que
é o mesmo que
. Vou ver
como composição de duas funções:
de modo que
.
Passo 3
Aplico a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se
, então
Explicando:
é a função interna (depende de
),
é a função externa (dependendo de uma variável genérica
). Primeiro derivamos
em relação a
, avaliamos em
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Passo 4
Derivo a função externa
em relação a
. Sabemos que a derivada de
é
, isto é,
Como
, sua derivada é
Aqui expliquei o que cada símbolo significa:
é
, então
.
Passo 5
Derivo a função interna
. A regra básica para potências diz que, para
,
Aplicando com
,
Passo 6
Agora junto tudo pela regra da cadeia:
Substituindo
e
:
Organizando (colocando o coeficiente na frente),
Se você preferir escrever sem
, use a identidade
, obtendo a forma alternativa
Passo 7
Dica prática para a prova: sempre identifique a função interna
e a externa
, escreva claramente
e
e depois substitua
. Aqui o sinal negativo ficou apenas multiplicando o resultado da derivada da tangente.