Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
- Para valores de x em que o denominador seja diferente de zero, aplicando corretamente a regra do quociente.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função, aplicando corretamente a regra do quociente, para valores de
em que o denominador seja diferente de zero. A função dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Condição de validade: o denominador não pode ser zero, ou seja
, portanto .
A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a escrita do denominador para facilitar derivação. Note que
Assim podemos reescrever
Agora vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que, para funções
e
diferenciáveis e
,
Aqui
é o numerador e
o denominador; vou aplicar exatamente essa fórmula.
Passo 3
Derivar o numerador
.
- A derivada de
é, pela regra do poder/potência, (porque ). - A derivada de
é porque a derivada de é , e aqui tem .
Portanto
Passo 4
Derivar o denominador
.
Usamos a regra do poder: se então
. Aqui
, logo
Usamos a regra do poder: se
Lembre que essa fórmula vale para
, compatível com a condição do enunciado.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do quociente:
Vamos simplificar passo a passo o numerador e o denominador.
Calcule os termos do numerador:
Subtraindo:
Fatorando
dentro do parêntese que multiplica
:
Assim o numerador fica
O denominador é
Portanto
Passo 6
Simplificando a potência de
no quociente:
. Assim uma forma compacta e conveniente para a derivada é
válida para
. Essa expressão é equivalente à obtida passo a passo acima, mas escrita de modo a evitar potências negativas no numerador.