Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
  • Para valores de x em que o denominador seja diferente de zero, aplicando corretamente a regra do quociente.
    f(x)=\frac{3 x^{2}+e^{x+3}}{\sqrt[3]{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função, aplicando corretamente a regra do quociente, para valores de x em que o denominador seja diferente de zero. A função dada é
f(x)=\frac{3 x^{2}+e^{x+3}}{\sqrt[3]{x^{2}}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Numerador: u(x)=3x^{2}+e^{x+3}.
  • Denominador: v(x)=\sqrt[3]{x^{2}}.
  • Condição de validade: o denominador não pode ser zero, ou seja \sqrt[3]{x^{2}}\neq 0, portanto x\neq 0.
    A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a escrita do denominador para facilitar derivação. Note que
\sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3}=x^{2/3}.
Assim podemos reescrever
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{3x^{2}+e^{x+3}}{x^{2/3}}.
Agora vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que, para funções u(x) e v(x) diferenciáveis e v(x)\neq 0,
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v - u v'}{v^{2}}.
Aqui u é o numerador e v o denominador; vou aplicar exatamente essa fórmula.

Passo 3

Derivar o numerador u(x)=3x^{2}+e^{x+3}.
  • A derivada de 3x^{2} é, pela regra do poder/potência, 6x (porque (ax^{n})' = a n x^{n-1}).
  • A derivada de e^{x+3} é e^{x+3} porque a derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}g'(x), e aqui g(x)=x+3 tem g'(x)=1.
    Portanto
u'(x)=6x+e^{x+3}.

Passo 4

Derivar o denominador v(x)=x^{2/3}.
Usamos a regra do poder: se v(x)=x^{m} então v'(x)=m x^{m-1}. Aqui m=\tfrac{2}{3}, logo
v'(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-1/3}.
Lembre que essa fórmula vale para x\neq 0, compatível com a condição do enunciado.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v - u v'}{v^{2}} =\frac{\bigl(6x+e^{x+3}\bigr)x^{2/3} - \bigl(3x^{2}+e^{x+3}\bigr)\frac{2}{3}x^{-1/3}}{\bigl(x^{2/3}\bigr)^{2}}.
Vamos simplificar passo a passo o numerador e o denominador.
Calcule os termos do numerador:
\bigl(6x+e^{x+3}\bigr)x^{2/3}=6x^{5/3}+e^{x+3}x^{2/3},
\bigl(3x^{2}+e^{x+3}\bigr)\frac{2}{3}x^{-1/3}=2x^{5/3}+\frac{2}{3}e^{x+3}x^{-1/3}.
Subtraindo:
\text{num} = \bigl(6x^{5/3}+e^{x+3}x^{2/3}\bigr)-\bigl(2x^{5/3}+\tfrac{2}{3}e^{x+3}x^{-1/3}\bigr) =4x^{5/3}+e^{x+3}\Bigl(x^{2/3}-\tfrac{2}{3}x^{-1/3}\Bigr).
Fatorando x^{-1/3} dentro do parêntese que multiplica e^{x+3}:
x^{2/3}-\tfrac{2}{3}x^{-1/3}=x^{-1/3}\Bigl(x-\tfrac{2}{3}\Bigr).
Assim o numerador fica
\text{num}=4x^{5/3}+e^{x+3}x^{-1/3}\Bigl(x-\tfrac{2}{3}\Bigr) =x^{-1/3}\Bigl(4x^{2}+e^{x+3}\bigl(x-\tfrac{2}{3}\bigr)\Bigr).
O denominador é
v^{2}=(x^{2/3})^{2}=x^{4/3}.
Portanto
f'(x)=\frac{x^{-1/3}\Bigl(4x^{2}+e^{x+3}\bigl(x-\tfrac{2}{3}\bigr)\Bigr)}{x^{4/3}}.

Passo 6

Simplificando a potência de x no quociente: x^{-1/3}/x^{4/3}=x^{-5/3}=1/x^{5/3}. Assim uma forma compacta e conveniente para a derivada é
f'(x)=\frac{4x^{2}+e^{x+3}\bigl(x-\tfrac{2}{3}\bigr)}{x^{5/3}},
válida para x\neq 0. Essa expressão é equivalente à obtida passo a passo acima, mas escrita de modo a evitar potências negativas no numerador.

Resposta

f'(x)=\frac{4x^{2}+e^{x+3}\left(x-\tfrac{2}{3}\right)}{x^{5/3}},\quad x\neq 0

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