Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
-
, aplicando corretamente a regra do produto.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de
para
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que se pede: calcular
, ou seja, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão dada para facilitar a derivação. Multiplicando os fatores constantes:
Portanto podemos reescrever
como
Essa forma é mais prática: é uma constante
multiplicando o produto de
por
.
Passo 3
Agora vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (aula rápida mas necessária):
Nesta fórmula,
é a derivada de
e
é a derivada de
.
Também precisamos das derivadas básicas:
Expliquei o porquê: a derivada de
é
porque
é a função inversa da exponencial; a derivada de
é
por definição trigonométrica de derivadas.
Passo 4
Aplicando essas regras ao nosso caso. Tome
e lembre que existe a constante multiplicativa
à frente. Pela linearidade da derivada, podemos escrever
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto dentro do parêntese:
Substituindo as derivadas conhecidas:
logo
Passo 6
Simplificando o que está dentro:
Agora multiplicamos por
:
Passo 7
Distribuindo o sinal negativo para deixar a forma mais clara:
Podemos também escrever fatorando
: