Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
  • \operatorname{com} \mathrm{x}>0, aplicando corretamente a regra do produto.
    f(x)=\frac{\ln (x)}{2} \cdot(-3 \cos (x))

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{\ln(x)}{2}\cdot(-3\cos(x)) e pede a derivada de f para \displaystyle x>0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{(i)}\; f(x)=\frac{\ln(x)}{2}\cdot(-3\cos(x)),\qquad \text{(ii)}\; x>0.
O que se pede: calcular f'(x), ou seja, a derivada de f em função de x.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dada para facilitar a derivação. Multiplicando os fatores constantes:
\frac{1}{2}\cdot(-3)= -\frac{3}{2}.
Portanto podemos reescrever f como
f(x) = -\frac{3}{2}\,\ln(x)\,\cos(x).
Essa forma é mais prática: é uma constante -\frac{3}{2} multiplicando o produto de \ln(x) por \cos(x).

Passo 3

Agora vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (aula rápida mas necessária):
\text{Regra do produto: se } g(x)=u(x)\,v(x)\text{ então } g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Nesta fórmula, u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v.
Também precisamos das derivadas básicas:
\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)=\frac{1}{x}\quad\text{(válido para }x>0\text{)},á
\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)=-\sin(x).
Expliquei o porquê: a derivada de \ln(x) é \tfrac{1}{x} porque \ln é a função inversa da exponencial; a derivada de \cos é -\sin por definição trigonométrica de derivadas.

Passo 4

Aplicando essas regras ao nosso caso. Tome
u(x)=\ln(x),\qquad v(x)=\cos(x),
e lembre que existe a constante multiplicativa -\tfrac{3}{2} à frente. Pela linearidade da derivada, podemos escrever
f'(x) = -\frac{3}{2}\,\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\cos(x)\big).

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto dentro do parêntese:
\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\cos(x)\big)=\big(\ln(x)\big)'\cos(x)+\ln(x)\big(\cos(x)\big)'.
Substituindo as derivadas conhecidas:
\big(\ln(x)\big)'=\frac{1}{x},\qquad \big(\cos(x)\big)'=-\sin(x),
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\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\cos(x)\big)=\frac{1}{x}\cos(x)+\ln(x)\big(-\sin(x)\big).

Passo 6

Simplificando o que está dentro:
\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\cos(x)\big)=\frac{\cos(x)}{x}-\ln(x)\sin(x).
Agora multiplicamos por -\tfrac{3}{2}:
f'(x) = -\frac{3}{2}\left(\frac{\cos(x)}{x}-\ln(x)\sin(x)\right).

Passo 7

Distribuindo o sinal negativo para deixar a forma mais clara:
f'(x) = -\frac{3}{2}\cdot\frac{\cos(x)}{x} + \frac{3}{2}\ln(x)\sin(x).
Podemos também escrever fatorando \tfrac{3}{2}:
f'(x)=\frac{3}{2}\left(\ln(x)\sin(x)-\frac{\cos(x)}{x}\right).

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{3}{2}\ln(x)\sin(x)-\frac{3}{2}\frac{\cos(x)}{x}

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