Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
- Para valores de x em que o denominador seja diferente de zero, aplicando corretamente a regra do quociente.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a derivada da função para os valores de
em que o denominador é diferente de zero.
Informações dadas:
e devemos calcular
apenas para
tais que
.
Passo 2
Vamos usar a regra do quociente (porque a função está escrita como uma razão de duas funções). A regra do quociente diz o seguinte: se
com
, então
Aqui eu defini:
Agora precisamos das derivadas de
e de
. Para isso usamos a regra da potência: a derivada de
é
.
Passo 3
Calculemos
e
:
Passo 4
Substituímos na fórmula da regra do quociente:
Agora vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo.
Passo 5
Expansão do primeiro produto:
Passo 6
Expansão do segundo produto (distribuindo cada termo):
portanto
Passo 7
Agora formamos o numerador
e combinamos termos semelhantes:
Passo 8
Colocando o numerador simplificado sobre o denominador ao quadrado, obtemos a derivada final (válida quando
):