Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
  • Para valores de x em que o denominador seja diferente de zero, aplicando corretamente a regra do quociente.
    f(x)=\frac{3 x^{2}-5}{2 x^{4}-x}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a derivada da função para os valores de x em que o denominador é diferente de zero.
Informações dadas:
f(x)=\frac{3x^{2}-5}{2x^{4}-x}
e devemos calcular f'(x) apenas para x tais que 2x^{4}-x\neq 0.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente (porque a função está escrita como uma razão de duas funções). A regra do quociente diz o seguinte: se \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui eu defini:
u(x)=3x^{2}-5,\qquad v(x)=2x^{4}-x.
Agora precisamos das derivadas de u e de v. Para isso usamos a regra da potência: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.

Passo 3

Calculemos u'(x) e v'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-5\bigr)=3\cdot 2x^{1}=6x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{4}-x\bigr)=2\cdot 4x^{3}-1=8x^{3}-1.

Passo 4

Substituímos na fórmula da regra do quociente:
f'(x)=\frac{(6x)(2x^{4}-x)-(3x^{2}-5)(8x^{3}-1)}{(2x^{4}-x)^{2}}.
Agora vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo.

Passo 5

Expansão do primeiro produto:
(6x)(2x^{4}-x)=12x^{5}-6x^{2}.

Passo 6

Expansão do segundo produto (distribuindo cada termo):
(3x^{2}-5)(8x^{3}-1)=3x^{2}\cdot 8x^{3}+3x^{2}\cdot(-1)+(-5)\cdot 8x^{3}+(-5)\cdot(-1),
portanto
(3x^{2}-5)(8x^{3}-1)=24x^{5}-3x^{2}-40x^{3}+5.

Passo 7

Agora formamos o numerador u'v-uv' e combinamos termos semelhantes:
\begin{aligned} u'v-uv'&=(12x^{5}-6x^{2})-(24x^{5}-3x^{2}-40x^{3}+5)\\[4pt] &=12x^{5}-6x^{2}-24x^{5}+3x^{2}+40x^{3}-5\\[4pt] &=(-12x^{5})+40x^{3}+(-3x^{2})-5\\[4pt] &=-12x^{5}+40x^{3}-3x^{2}-5. \end{aligned}]

Passo 8

Colocando o numerador simplificado sobre o denominador ao quadrado, obtemos a derivada final (válida quando 2x^{4}-x\neq 0):
f'(x)=\frac{-12x^{5}+40x^{3}-3x^{2}-5}{(2x^{4}-x)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{-12x^{5}+40x^{3}-3x^{2}-5}{(2x^{4}-x)^{2}}

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