Considerando Va e Vb iguais a 50% de V. Calcule a probabilidade do estado não misturado para 1 atomo de A e 1 atomo de B ? 10 átomos de cada um? E 1000 átomos de cada um?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre calcular a probabilidade do estado não misturado para diferentes quantidades de átomos de A e B, considerando que os volumes ocupados por A (Va) e B (Vb) são iguais a 50% do volume total V. Vamos usar conceitos de probabilidade combinatória para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “estado não misturado”. Isso quer dizer que todos os átomos de A estão em uma parte do volume (Va) e todos os átomos de B estão na outra parte (Vb). Como Va e Vb são iguais a 50% de V, cada átomo tem 50% de chance de estar em qualquer uma das metades.

Passo 3

Vamos começar com 1 átomo de A e 1 átomo de B. Para que o estado seja não misturado, o átomo de A deve estar em Va e o átomo de B em Vb, ou vice-versa.
A probabilidade de A estar em Va é 0,5 e B em Vb também é 0,5. Como esses eventos são independentes, multiplicamos as probabilidades:
P = 0,5 times 0,5 = 0,25
No entanto, temos duas possibilidades: A em Va e B em Vb, ou A em Vb e B em Va. Então, somamos:
Ptotal = 0,25 + 0,25 = 0,5

Passo 4

Agora, para 10 átomos de A e 10 de B. A ideia é generalizar o que fizemos antes. Para o estado não misturado, todos os 10 átomos de A devem estar em Va e todos os 10 de B em Vb, ou todos os A em Vb e todos os B em Va.
A probabilidade de cada átomo de A estar em Va é 0,5, e o mesmo para cada átomo de B em Vb. Como são 10 átomos de cada, elevamos ao poder 10:
P = (0,5)^10 times (0,5)^10 = (0,5)^20
Mas temos duas possibilidades (A em Va e B em Vb, ou A em Vb e B em Va), então:
Ptotal = 2 times (0,5)^20
Calculando:
(0,5)^20 approx 9,5367 times 10^-7
Ptotal approx 2 times 9,5367 times 10^-7 = 1,9073 times 10^-6

Passo 5

Finalmente, para 1000 átomos de A e 1000 de B. Seguimos a mesma lógica:
P = (0,5)^1000 times (0,5)^1000 = (0,5)^2000
Ptotal = 2 times (0,5)^2000
Esse valor é extremamente pequeno, praticamente zero na prática, indicando que é praticamente impossível manter o estado não misturado com 1000 átomos de cada tipo.

Resposta

  • Para 1 átomo de A e 1 átomo de B: a probabilidade é 50%.
  • Para 10 átomos de cada um: a probabilidade é aproximadamente 1,9073 × 10⁻⁶.
  • Para 1000 átomos de cada um: a probabilidade é 2 × (0,5)²⁰⁰⁰, praticamente zero.

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