Sejam as séries de potências de x, a saber,
I) Série de Taylor:
& f(x)=f(a)+(x-a) f^prime(a)+(x-a)^22! f^prime prime(a)+cdots & =sumn=0^infty (x-a)^nn! f^(n)(a)
II) Série de Maclaurin:
f(x)=f(0)+x f^prime(0)+x^22! f^prime prime(0)+cdots=sumn=0^infty x^nn! f^(n)(0)
  • Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
    e^x=1+x+x^22!+x^33!+cdots=sumn=0^infty x^nn!.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra gente usar a série de Maclaurin (que é um caso especial da série de Taylor em torno de 0) pra mostrar que
e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + cdots = sumn=0^infty x^nn!,
Conteúdo: séries de potências (Maclaurin). Precisamos saber a fórmula geral de Maclaurin e calcular as derivadas de e^x em zero.

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de série de Maclaurin de uma função f(x):
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n,
Isso vem diretamente do caso a=0 da série de Taylor.

Passo 3

Agora, escolhemos f(x)=e^x. A grande sacada é que todas as derivadas de e^x são iguais a e^x de novo. Ou seja, para qualquer n>=0,
f^(n)(x)=e^xLongrightarrow f^(n)(0)=e^0=1,

Passo 4

Bastou substituir na fórmula da série de Maclaurin:
e^x = sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n = sumn=0^infty 1n!,x^n = 1 + x + x^22! + x^33! + cdots,

Resposta

boxede^x ;=;sumn=0^infty x^nn!;=;1 + x + x^22! + x^33! + cdots

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