Considerando um ímã como um dipolo magnético com momento de dipolo
mẑ e massa M dentro de um solenoide com corrente i e densidade de espiras
. Qual seria a condição para o ímã levitar nas proximidades da terra? (Dipolos magnéticos)
Passo 1
Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um ímã que atua como um dipolo magnético com momento de dipolo $ \vec{m} = -m\hat{z} $ e massa $ M $. Esse ímã está dentro de um solenoide que possui uma corrente $ i $ e uma densidade de espiras $ n = \frac{N}{L} $, onde $ N $ é o número total de espiras e $ L $ é o comprimento do solenoide.
Conteúdo de Física Envolvido:
- Dipolos Magnéticos: Entender como um dipolo interage com um campo magnético.
- Força Magnética em Dipolos: Como calcular a força exercida sobre um dipolo magnético em um campo magnético não uniforme.
- Equilíbrio de Forças: Equilibrar a força magnética com a força gravitacional para que o ímã levite.
Vamos precisar usar a teoria sobre forças em dipolos magnéticos e equilíbrio de forças para encontrar a condição necessária para que o ímã levite.
Passo 2
Força Gravitacional Atuando no Ímã
Primeiro, vamos considerar a força que a gravidade exerce sobre o ímã. A força gravitacional é dada por:
Onde:
- $ M $ é a massa do ímã.
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $).
Essa força tende a puxar o ímã para baixo.
Passo 3
Campo Magnético Gerado pelo Solenoide
Agora, vamos determinar o campo magnético dentro do solenoide. Para um solenoide longo e com densidade de espiras $ n $, o campo magnético $ B $ dentro dele é:
Onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $).
- $ n = \frac{N}{L} $ é a densidade de espiras.
- $ i $ é a corrente que passa pelo solenoide.
Esse campo é direcionado ao longo do eixo do solenoide (no caso, o eixo $ z $).
Passo 4
Força Magnética Atuando no Dipolo
Um dipolo magnético $ \vec{m} $ em um campo magnético não uniforme experimenta uma força. A força magnética $ F_m $ pode ser calculada por:
Como o ímã tem o momento de dipolo $ \vec{m} = -m\hat{z} $, podemos simplificar para considerar a componente ao longo de $ z $:
Aqui, $ \frac{dB}{dz} $ é o gradiente do campo magnético ao longo do eixo $ z $.
Passo 5
Equilíbrio entre Força Magnética e Força Gravitacional
Para que o ímã levite, a força magnética deve equilibrar exatamente a força gravitacional. Portanto, estabelecemos:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 6
Determinação da Condição de Levitação
Vamos agora expressar $ \frac{dB}{dz} $ para o solenoide. Em um solenoide ideal, o campo magnético é uniforme no interior, mas próximo das extremidades, há um gradiente. Para simplificação, consideramos que o gradiente necessário para a levitação seja fornecido.
Resolvendo a equação para a condição de levitação:
Então, a condição para que o ímã levite é que o gradiente do campo magnético no solenoide seja igual a $ \frac{M \cdot g}{m} $.
Resposta
A condição para que o ímã levite nas proximidades da Terra é que o gradiente do campo magnético no solenoide satisfaça