Encontre a força de interação entre os dipolos magnéticos ao lado onde m1= mẑ e m2=-mẑ são os momentos de um dipolo magnético e z é a distância entre os mesmos, ao considerar um solenoide (massa M) (bobina, eletroímã) como um dipolo magnético, encontre a força entre 2 eletroímãs idênticos onde
NiA é o momento de dipolo, qual seria a condição para levitação magnética?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos dois dipolos magnéticos, que são basicamente como pequenos ímãs, cada um com seu próprio momento magnético. O primeiro dipolo, $ \mathbf{m}_1
\mathbf{\hat{z}} $), e o segundo dipolo, $ \mathbf{m}_2
-\mathbf{\hat{z}} $). A distância entre eles é $ z $. A gente vai tratar cada eletroímã (ou solenoide) como um dipolo magnético, onde o momento magnético $ \mathrm{m} $ é dado por $ \mathrm{m} = N i A $ (com $ N $ sendo o número de voltas, $ i $ a corrente e $ A $ a área da seção transversal). Nosso objetivo é encontrar a força de interação entre esses dois eletroímãs idênticos e descobrir qual condição deve ser satisfeita para que ocorra a levitação magnética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a força entre dois dipolos magnéticos. A fórmula geral para a força entre dois dipolos magnéticos alinhados ao longo do eixo $ z $ é dada por:
Onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $),
- $ z $ é a distância entre os dipolos,
- $ \mathbf{\hat{z}} $ é o vetor unitário na direção $ z $.
Como nossos dipolos estão alinhados ao longo do eixo $ z $, essa fórmula se simplifica.
Passo 3
Vamos substituir os valores dos momentos magnéticos:
Onde $ m = N i A $.
Agora, vamos calcular os produtos escalares:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da força:
O sinal negativo indica que a força é de atração, já que os dipolos estão opostos.
Passo 5
Agora, para que ocorra a levitação magnética, essa força de atração magnética deve ser igual à força gravitacional que puxa os eletroímãs para baixo. A força gravitacional é dada por:
Onde:
- $ M $ é a massa do eletroímã,
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $).
Para a levitação, queremos que a força magnética iguale a força gravitacional:
Resposta
Portanto, a condição para levitação magnética é:
Ou, reorganizando para encontrar, por exemplo, a distância $ z $:
Isso garante que a força de atração magnética equilibre a força gravitacional, permitindo a levitação dos eletroímãs.