Considerando que \int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}} d x \cong 1.14779, calcule um valor aproximado para \int_{-1}^{1} \sqrt{1+x^{2}} d x. (Sugestão: use aquele exercício que foi dado na sala de aula sobre a função par).

Passo 1

O enunciado nos dá o valor aproximado
\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\,dx \cong 1,14779.
A pergunta é: calcular um valor aproximado para
\int_{-1}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\,dx.
Não foram dadas outras informações; a sugestão é usar o exercício sobre função par feito em sala.

Passo 2

Vamos recordar e explicar o que significa uma função ser par (com calma e sem jargão).
  • Dizemos que uma função f é par se, para todo x no domínio, vale
    f(-x)=f(x).
    Isso quer dizer que o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo vertical.
  • Exemplos simples para fixar:
    • f(x)=x^{2} é par porque (-x)^{2}=x^{2}.
    • g(x)=x é ímpar porque g(-x)=-g(x).
    • Uma função ímpar satisfaz f(-x)=-f(x) e, nesse caso, a área positiva de um lado cancela com a negativa do outro ao integrar simetricamente.

Passo 3

Vamos verificar se a função f(x)=\sqrt{1+x^{2}} é par. Para isso calculamos f(-x):
f(-x)=\sqrt{1+(-x)^{2}}=\sqrt{1+x^{2}}=f(x).
Portanto \sqrt{1+x^{2}} é uma função par. Isso significa que seu valor é o mesmo em x e em -x.

Passo 4

Agora a propriedade importante de integrais para funções pares (vou provar rapidamente usando substituição, passo a passo, para você poder reproduzir na prova):
Se f é par e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Prova por substituição (mostrando cada passo): escrevemos a integral como soma das metades
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Na primeira integral fazemos a substituição u=-x. Quando x=-a temos u=a; quando x=0 temos u=0. Também dx=-du. Então
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-u)\,(-du) = \int_{0}^{a} f(-u)\,du.
Como f é par, f(-u)=f(u). Assim
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(u)\,du.
Somando com \int_{0}^{a} f(x)\,dx obtém-se a igualdade desejada:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Essa é uma ferramenta que vale ouro em provas: reduzir integrais simétricas pela propriedade de paridade.

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso caso com a=1 e f(x)=\sqrt{1+x^{2}} (já vimos que f é par), obtemos
\int_{-1}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\,dx = 2\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\,dx.
Agora substituímos o valor aproximado dado:
2\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\,dx \cong 2\cdot 1,14779.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
2\cdot 1,14779 = 2,29558.

Passo 6

Discussão sobre aproximação e casa decimais: como o dado inicial tem cinco casas decimais ( 1,14779), o produto direto fornece 2,29558 com as mesmas cinco casas decimais. Esse é um valor consistente e adequado como aproximação final a partir do dado fornecido. Se for necessário, pode-se arredondar (por exemplo, 2,2956 se quiser quatro casas decimais), mas aqui mantemos a multiplicação exata dos algarismos dados.
Força aí — a ideia chave que você precisa decorar para a prova é: para funções pares, a integral simétrica dobra a integral de 0 a a. Esse truque economiza tempo.

Resposta

2,29558

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