Considerando que
, calcule um valor aproximado para
. (Sugestão: use aquele exercício que foi dado na sala de aula sobre a função par).
Passo 1
O enunciado nos dá o valor aproximado
A pergunta é: calcular um valor aproximado para
Não foram dadas outras informações; a sugestão é usar o exercício sobre função par feito em sala.
Passo 2
Vamos recordar e explicar o que significa uma função ser par (com calma e sem jargão).
-
Dizemos que uma função
é par se, para todo no domínio, vale Isso quer dizer que o gráfico deé simétrico em relação ao eixo vertical. -
Exemplos simples para fixar:
-
é par porque . -
é ímpar porque . - Uma função ímpar satisfaz
e, nesse caso, a área positiva de um lado cancela com a negativa do outro ao integrar simetricamente.
-
Passo 3
Vamos verificar se a função
é par. Para isso calculamos
:
Portanto
é uma função par. Isso significa que seu valor é o mesmo em
e em
.
Passo 4
Agora a propriedade importante de integrais para funções pares (vou provar rapidamente usando substituição, passo a passo, para você poder reproduzir na prova):
Se
é par e integrável em
, então
Prova por substituição (mostrando cada passo): escrevemos a integral como soma das metades
Na primeira integral fazemos a substituição
. Quando
temos
; quando
temos
. Também
. Então
Como
é par,
. Assim
Somando com
obtém-se a igualdade desejada:
Essa é uma ferramenta que vale ouro em provas: reduzir integrais simétricas pela propriedade de paridade.
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao nosso caso com
e
(já vimos que
é par), obtemos
Agora substituímos o valor aproximado dado:
Fazendo a multiplicação passo a passo:
Passo 6
Discussão sobre aproximação e casa decimais: como o dado inicial tem cinco casas decimais (
), o produto direto fornece
com as mesmas cinco casas decimais. Esse é um valor consistente e adequado como aproximação final a partir do dado fornecido. Se for necessário, pode-se arredondar (por exemplo,
se quiser quatro casas decimais), mas aqui mantemos a multiplicação exata dos algarismos dados.
Força aí — a ideia chave que você precisa decorar para a prova é: para funções pares, a integral simétrica dobra a integral de
a
. Esse truque economiza tempo.