Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaixo:
\int_{1}^{2} \ln x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \ln x\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Integrando: \ln x.
  • Limites de integração: de x=1 até x=2.
  • Objetivo: encontrar o valor numérico exato da integral definida.

Passo 2

Apresentar a fórmula de integração por partes para integrais definidas e explicar por que ela vale.
Começamos da regra do produto (derivada de u\cdot v):
(uv)' = u'v + uv'.
Integramos ambos os lados no intervalo [a,b]:
\int_a^b (uv)' \,dx = \int_a^b u'v\,dx + \int_a^b uv'\,dx.
Pelo teorema fundamental do cálculo,
\int_a^b (uv)' \,dx = [uv]_a^b,
logo
[uv]_a^b = \int_a^b u'v\,dx + \int_a^b uv'\,dx.
Rearranjando para isolar uma integral, obtemos a fórmula de integração por partes (para integrais definidas):
\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du,
onde u é uma função diferenciável, du é sua diferencial ( du = u'(x)\,dx), dv é outra diferencial e v é uma primitiva de dv (ou seja, v' = dv/dx). Em palavras: escolha u que simplifique ao derivar e dv que seja fácil de integrar para obter v.

Passo 3

Escolher u e dv para a nossa integral. Dica prática: funções logarítmicas ficam mais simples ao derivar, então escolhemos
u = \ln x,\qquad dv = dx.
Agora calculamos du e v:
  • Diferenciando u: du = \frac{1}{x}\,dx.
  • Integrando dv: v = \int dx = x.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes (em versão definida \int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du) usando os u, du, v, dv escolhidos:
\int_{1}^{2} \ln x\,dx = \big[ x\ln x \big]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificar o integrando da segunda integral: x\cdot\frac{1}{x}=1. Assim
\int_{1}^{2} \ln x\,dx = \big[ x\ln x \big]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} 1\,dx.

Passo 5

Avaliar os termos:
  • Avaliando o termo de fronteira:
\big[ x\ln x \big]_{1}^{2} = 2\ln 2 - 1\ln 1 = 2\ln 2 - 0 = 2\ln 2,
porque \ln 1 = 0.
  • Avaliando a integral simples:
\int_{1}^{2} 1\,dx = \big[ x \big]_{1}^{2} = 2-1 = 1.
Substituindo:
\int_{1}^{2} \ln x\,dx = 2\ln 2 - 1.

Passo 6

Checagem numérica rápida (para dar confiança): \ln 2 \approx 0,6931, então
2\ln 2 - 1 \approx 2\cdot 0,6931 - 1 = 1,3862 - 1 = 0,3862\ldots
Isso confirma que o valor é positivo e pequeno, coerente com a área sob a curva \ln x entre 1 e 2.

Resposta

2\ln 2 - 1

Exercícios relacionados