Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas e o que é pedido:
- Integrando:
. - Limites de integração: de
até . - Objetivo: encontrar o valor numérico exato da integral definida.
Passo 2
Apresentar a fórmula de integração por partes para integrais definidas e explicar por que ela vale.
Começamos da regra do produto (derivada de
):
Integramos ambos os lados no intervalo
:
Pelo teorema fundamental do cálculo,
logo
Rearranjando para isolar uma integral, obtemos a fórmula de integração por partes (para integrais definidas):
onde
é uma função diferenciável,
é sua diferencial (
),
é outra diferencial e
é uma primitiva de
(ou seja,
). Em palavras: escolha
que simplifique ao derivar e
que seja fácil de integrar para obter
.
Passo 3
Escolher
e
para a nossa integral. Dica prática: funções logarítmicas ficam mais simples ao derivar, então escolhemos
Agora calculamos
e
:
- Diferenciando
: . - Integrando
: .
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes (em versão definida
) usando os
escolhidos:
Simplificar o integrando da segunda integral:
. Assim
Passo 5
Avaliar os termos:
- Avaliando o termo de fronteira:
porque
.
- Avaliando a integral simples:
Substituindo:
Passo 6
Checagem numérica rápida (para dar confiança):
, então
Isso confirma que o valor é positivo e pequeno, coerente com a área sob a curva
entre
e
.