Usando o processo de mudança de variáveis, calcule as integrais abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Ideia geral do método de mudança de variáveis (substituição) para integrais definidas:
Se fizermos uma substituição com
diferenciável, então
. Para uma integral definida, também mudam os limites: quando
temos
e quando
temos
. Assim,
Se fizermos uma substituição
Aqui
é a função que fica em termos de
,
é a função escolhida para substituir, e
vira
. Vou aplicar isso escolhendo uma
que simplifique a integral.
Passo 3
Escolha da substituição e justificativa:
Observar a integranda : a presença de
junto com uma potência de
sugere a substituição
Observar a integranda
porque a derivada de
é
, o que aparece na integral. Agora calculamos
:
Passo 4
Mudar os limites de integração para a variável
:
- Para
: - Para
:
Portanto os limites em
vão de
(quando
) até
(quando
).
Passo 5
Substituir na integral usando
e
:
Trocar a ordem dos limites para ficar positivo (troca de sinal):
Passo 6
Calcular a integral em
:
A primitiva de é
. Então
A primitiva de