Usando o processo de mudança de variáveis, calcule as integrais abaixo:
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen} x \cos ^{2} x d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen} x\,\cos^{2} x\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \operatorname{sen} x\,\cos^{2} x.
  • Os limites de integração são x=\dfrac{\pi}{3} (inferior) e x=\dfrac{\pi}{2} (superior).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Ideia geral do método de mudança de variáveis (substituição) para integrais definidas:
Se fizermos uma substituição \;u=g(x)\; com g diferenciável, então du=g'(x)\,dx. Para uma integral definida, também mudam os limites: quando x=a temos u=g(a) e quando x=b temos u=g(b). Assim,
\int_{a}^{b} f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.
Aqui f é a função que fica em termos de u, g é a função escolhida para substituir, e g'(x)\,dx vira du. Vou aplicar isso escolhendo uma g que simplifique a integral.

Passo 3

Escolha da substituição e justificativa:
Observar a integranda \operatorname{sen} x\,\cos^{2} x: a presença de \operatorname{sen} x junto com uma potência de \cos x sugere a substituição
u=\cos x,
porque a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x, o que aparece na integral. Agora calculamos du:
du = -\operatorname{sen} x\,dx \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen} x\,dx = -du.

Passo 4

Mudar os limites de integração para a variável u:
  • Para x=\dfrac{\pi}{3}: u=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}.
  • Para x=\dfrac{\pi}{2}: u=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
Portanto os limites em u vão de u=\dfrac{1}{2} (quando x=\dfrac{\pi}{3}) até u=0 (quando x=\dfrac{\pi}{2}).

Passo 5

Substituir na integral usando u=\cos x e \operatorname{sen} x\,dx=-du:
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen} x\,\cos^{2} x\,dx = \int_{u=\frac{1}{2}}^{u=0} \big(u^{2}\big)\,(-du) = -\int_{\frac{1}{2}}^{0} u^{2}\,du.
Trocar a ordem dos limites para ficar positivo (troca de sinal):
-\int_{\frac{1}{2}}^{0} u^{2}\,du = \int_{0}^{\frac{1}{2}} u^{2}\,du.

Passo 6

Calcular a integral em u:
A primitiva de u^{2} é \dfrac{u^{3}}{3}. Então
\int_{0}^{\frac{1}{2}} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{\frac{1}{8}}{3} = \frac{1}{24}.

Resposta

\dfrac{1}{24}

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