Considerando que lang<= xrang<= e lang<= x^2rang<= representam o valor médio de x e o valor médio de x^2 num dado estado psi, calcule sigmax=raizlang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2, sigmap=raizlang<= p^2rang<=-lang<= prang<=^2 e sigmax sigmap para o estado fundamental do poço quadrado infinito. O resultado do produto sigmax sigmap é consistente com o princípio de incerteza? Justifique sua resposta.
Resp: sigmax=L raiz112-12 pi^2 e sigmap=hbar piL

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão está pedindo para calcular as incertezas nas posições ( sigmax) e no momento ( sigmap) para o estado fundamental de um poço quadrado infinito. Depois, a gente precisa ver se o produto dessas incertezas ( sigmax sigmap) está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica como valores esperados e o próprio princípio da incerteza.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular sigmax, que é a incerteza na posição. A fórmula para sigmax é:
sigmax = raizlang<= x^2 rang<= - lang<= x rang<=^2
Isso significa que precisamos encontrar os valores esperados de x e de x^2 no estado fundamental do poço quadrado infinito.

Passo 3

No estado fundamental do poço infinito, o valor esperado de x, lang<= x rang<=, é simplesmente o centro do poço. Se considerarmos um poço de largura L, então:
lang<= x rang<= = L2
Isso porque a partícula está igualmente distribuída em todo o poço.

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= x^2 rang<=. Para o estado fundamental, a função de onda é simétrica em relação ao centro do poço, então podemos usar a seguinte expressão para lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral0^L x^2 |psi(x)|^2 dx
Após resolver essa integral, encontramos que:
lang<= x^2 rang<= = L^212 - L^22pi^2

Passo 5

Com lang<= x rang<= e lang<= x^2 rang<= calculados, podemos agora encontrar sigmax:
sigmax = raizL^212 - L^22pi^2 - (L2)^2
Simplificando isso, chegamos a:
sigmax = L raiz112 - 12pi^2

Passo 6

Agora, vamos calcular sigmap, a incerteza no momento. A fórmula é similar:
sigmap = raizlang<= p^2 rang<= - lang<= p rang<=^2
No estado fundamental, o valor esperado de p, lang<= p rang<=, é zero devido à simetria da função de onda. Portanto:
sigmap = raizlang<= p^2 rang<=

Passo 7

Para encontrar lang<= p^2 rang<=, usamos a relação entre energia e momento. No estado fundamental, a energia é dada por:
E = hbar^2 pi^22mL^2
Sabendo que E = lang<= p^2 rang<=2m, podemos igualar as expressões e resolver para lang<= p^2 rang<=:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 pi^2L^2
Então,
sigmap = hbar piL

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o produto sigmax sigmap:
sigmax sigmap = L raiz112 - 12pi^2 times hbar piL = hbar pi raiz112 - 12pi^2

Resposta

As incertezas são sigmax = L raiz112 - 12 pi^2 e sigmap = hbar piL. O produto sigmax sigmap satisfaz o princípio da incerteza de Heisenberg, já que é maior ou igual a hbar2.

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