Considerando que
e
representam o valor médio de
e o valor médio de
num dado estado
, calcule
e
para o estado fundamental do poço quadrado infinito. O resultado do produto
é consistente com o princípio de incerteza? Justifique sua resposta.
Resp:
e
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão está pedindo para calcular as incertezas nas posições (
) e no momento (
) para o estado fundamental de um poço quadrado infinito. Depois, a gente precisa ver se o produto dessas incertezas (
) está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica como valores esperados e o próprio princípio da incerteza.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a incerteza na posição. A fórmula para
é:
Isso significa que precisamos encontrar os valores esperados de
e de
no estado fundamental do poço quadrado infinito.
Passo 3
No estado fundamental do poço infinito, o valor esperado de
,
, é simplesmente o centro do poço. Se considerarmos um poço de largura
, então:
Isso porque a partícula está igualmente distribuída em todo o poço.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Para o estado fundamental, a função de onda é simétrica em relação ao centro do poço, então podemos usar a seguinte expressão para
:
Após resolver essa integral, encontramos que:
Passo 5
Com
e
calculados, podemos agora encontrar
:
Simplificando isso, chegamos a:
Passo 6
Agora, vamos calcular
, a incerteza no momento. A fórmula é similar:
No estado fundamental, o valor esperado de
,
, é zero devido à simetria da função de onda. Portanto:
Passo 7
Para encontrar
, usamos a relação entre energia e momento. No estado fundamental, a energia é dada por:
Sabendo que
, podemos igualar as expressões e resolver para
:
Então,
Passo 8
Finalmente, vamos calcular o produto
:
Resposta
As incertezas são
e
. O produto
satisfaz o princípio da incerteza de Heisenberg, já que é maior ou igual a
.