Uma força Fx atua sobre uma partícula que tem uma massa de 1,5 kg. A força está relacionada com a posição x da partícula pela fórmula Fx=C x^3, onde C=0,50 se x está em metros e Fx está em Newtons. Em x=3,0 m, a força tem o sentido oposto ao da velocidade da partícula (rapidez de 12,0 m / s ). Qual é sua rapidez em x=1,5 m? Você pode, apenas com base no teorema do trabalhoenergia cinética, dizer qual é a orientação do movimento da partícula em x=1,5 m? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma partícula com massa de 1,5, kg na qual uma força Fx está agindo. Essa força está relacionada com a posição x da partícula pela equação Fx = Cx^3, onde C = 0,50. Sabemos que em x = 3,0, m, a força está na direção oposta à velocidade da partícula, que é de 12,0, m/s. A questão pede para descobrir qual é a rapidez da partícula em x = 1,5, m e, usando o teorema do trabalho-energia cinética, dizer como está a direção do movimento da partícula nessa posição. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de força, trabalho, energia cinética e o teorema do trabalho-energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a força Fx = Cx^3 significa. Aqui, C = 0,50, N/m^3, então a força depende do cubo da posição x. Isso significa que conforme a partícula se move, a força agindo sobre ela muda de intensidade e direção.

Passo 3

O teorema do trabalho-energia cinética diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação da energia cinética desse objeto:
Wtotal = De
Onde:
  • Wtotal é o trabalho total realizado,
  • m é a massa da partícula,
  • vf é a velocidade final,
  • vi é a velocidade inicial.

Passo 4

Vamos calcular o trabalho realizado pela força Fx quando a partícula se move de xi = 3,0, m para xf = 1,5, m. O trabalho W é dado por:
W = integralxi^xf Fx , dx = integral3,0^1,5 Cx^3 , dx
Substituindo C = 0,50, N/m^3:
W = 0,50 integral3,0^1,5 x^3 , dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral x^3 , dx = x^44
Então,
W = 0,50 [ x^44 ]3,0^1,5 = 0,50 ( (1,5)^44 - (3,0)^44 )
Calculando os valores:
(1,5)^4 = 5,0625 e (3,0)^4 = 81
Portanto,
W = 0,50 ( 5,06254 - 814 ) = 0,50 ( 1,265625 - 20,25 ) = 0,50 times (-19,984375) = -9,9921875, J

Passo 6

Agora, aplicando o teorema do trabalho-energia cinética:
Wtotal = De
Sabemos que em xi = 3,0, m, a velocidade vi = 12,0, m/s. Queremos encontrar vf em xf = 1,5, m:
-9,992 = 12 times 1,5 times vf^2 - 12 times 1,5 times (12)^2
Simplificando:
-9,992 = 0,75 vf^2 - 0,75 times 144
-9,992 = 0,75 vf^2 - 108
Adicionando 108 em ambos os lados:
98,008 = 0,75 vf^2
Dividindo por 0,75:
vf^2 = 98,0080,75 = 130,6773
Tirando a raiz quadrada:
vf = raiz130,6773 approx 11,43, m/s

Passo 7

Agora, sobre a orientação do movimento em x = 1,5, m. O trabalho realizado foi negativo ( -9,992, J), o que indica que a força está retirando energia cinética da partícula. Isso significa que a força está atuando na mesma direção do movimento da partícula, ou seja, está desacelerando a partícula. Portanto, a velocidade está diminuindo à medida que a partícula se move para x = 1,5, m.

Resposta

A rapidez da partícula em x = 1,5, m é aproximadamente 11,43, m/s. Além disso, a direção do movimento da partícula em x = 1,5, m está sendo desacelerada pela força atuante.

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