Uma força
atua sobre uma partícula que tem uma massa de
. A força está relacionada com a posição
da partícula pela fórmula
, onde
se
está em metros e
está em Newtons. Em
, a força tem o sentido oposto ao da velocidade da partícula (rapidez de
). Qual é sua rapidez em
? Você pode, apenas com base no teorema do trabalhoenergia cinética, dizer qual é a orientação do movimento da partícula em
? Explique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma partícula com massa de
na qual uma força
está agindo. Essa força está relacionada com a posição
da partícula pela equação
, onde
. Sabemos que em
, a força está na direção oposta à velocidade da partícula, que é de
. A questão pede para descobrir qual é a rapidez da partícula em
e, usando o teorema do trabalho-energia cinética, dizer como está a direção do movimento da partícula nessa posição. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de força, trabalho, energia cinética e o teorema do trabalho-energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a força
significa. Aqui,
, então a força depende do cubo da posição
. Isso significa que conforme a partícula se move, a força agindo sobre ela muda de intensidade e direção.
Passo 3
O teorema do trabalho-energia cinética diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação da energia cinética desse objeto:
Onde:
-
é o trabalho total realizado, -
é a massa da partícula, -
é a velocidade final, -
é a velocidade inicial.
Passo 4
Vamos calcular o trabalho realizado pela força
quando a partícula se move de
para
. O trabalho
é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Calculando a integral:
Então,
Calculando os valores:
Portanto,
Passo 6
Agora, aplicando o teorema do trabalho-energia cinética:
Sabemos que em
, a velocidade
. Queremos encontrar
em
:
Simplificando:
Adicionando 108 em ambos os lados:
Dividindo por 0,75:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 7
Agora, sobre a orientação do movimento em
. O trabalho realizado foi negativo (
), o que indica que a força está retirando energia cinética da partícula. Isso significa que a força está atuando na mesma direção do movimento da partícula, ou seja, está desacelerando a partícula. Portanto, a velocidade está diminuindo à medida que a partícula se move para
.
Resposta
A rapidez da partícula em
é aproximadamente
. Além disso, a direção do movimento da partícula em
está sendo desacelerada pela força atuante.