Num sistema estelar binário, duas estrelas, com massas
e
, descrevem uma órbita circular em torno do centro de massa delas. A estrela de massa
possui uma órbita com raio
e a estrela de massa
possui uma órbita com raio
.
Explique por que as duas estrelas possuem o mesmo período orbital e mostre que o período T é dado por
.
Explique por que as duas estrelas possuem o mesmo período orbital e mostre que o período T é dado por
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O problema fala sobre um sistema binário de estrelas, onde duas estrelas com massas $ M_{1} $ e $ M_{2} $ estão orbitando em torno do centro de massa desse sistema. Cada estrela tem seu próprio raio de órbita, $ R_{1} $ e $ R_{2} $. Nosso objetivo é entender por que essas duas estrelas têm o mesmo período orbital e mostrar que o período $ T $ é dado pela fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física como centro de massa, força gravitacional e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. Imagine que as duas estrelas estão conectadas por uma linha invisível. O centro de massa é um ponto nessa linha onde se pode considerar que toda a massa do sistema está concentrada para o cálculo de movimento. Esse ponto depende das massas das estrelas e de suas distâncias relativas.
A fórmula para a posição do centro de massa ($ C $) em relação a cada estrela é dada por:
Isso significa que as estrelas giram ao redor desse ponto central.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o período orbital. O período $ T $ é o tempo que uma estrela leva para completar uma órbita completa em torno do centro de massa. Mesmo que as estrelas tenham raios de órbita diferentes ($ R_{1} $ e $ R_{2} $), elas compartilham o mesmo período porque estão interagindo mutuamente através da força gravitacional e permanecem ligadas ao centro de massa.
Portanto, ambas as estrelas completam suas órbitas no mesmo tempo $ T $.
Passo 4
Para encontrar a expressão para o período $ T $, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e a segunda lei de Newton do movimento.
A força gravitacional entre as duas estrelas é dada por:
Onde $ G $ é a constante gravitacional.
Essa força atua como a força centrípeta que mantém cada estrela em sua órbita circular. A força centrípeta para cada estrela pode ser expressa como:
Onde $ M $ é a massa da estrela, $ v $ é a velocidade orbital e $ R $ é o raio da órbita.
Passo 5
Vamos igualar a força gravitacional à força centrípeta para uma das estrelas, digamos $ M_{1} $:
Podemos simplificar $ M_{1} $ dos dois lados:
Rearranjando para encontrar $ v^{2} $:
Passo 6
Sabemos que a velocidade $ v $ também está relacionada ao período $ T $ e ao raio da órbita:
Substituindo essa expressão para $ v $ na equação anterior:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver para $ T^{2} $:
Simplificando $ R_{1} $:
Passo 8
Perceba que $ M_{2} $ pode ser relacionado à massa total $ M_{1} + M_{2} $ e as distâncias $ R_{1} $ e $ R_{2} $. Iniciando, a relação entre $ R_{1} $ e $ R_{2} $ em torno do centro de massa é dada por:
Isso significa que:
Substituindo $ M_{2} $ na expressão de $ T^{2} $:
Simplificando:
Passo 9
Para simplificar ainda mais, podemos expressar isso em termos da massa total $ M_{1} + M_{2} $. Usando a relação $ M_{1} R_{1} = M_{2} R_{2} $, temos:
Portanto, a expressão para $ T^{2} $ pode ser reescrita em termos de $ M_{1} + M_{2} $:
Passo 10
Finalmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar $ T $:
Resposta
O período orbital das duas estrelas é dado por: