Considerando que
é a largura de banda e
é a frequência central dos filtros:
Demostre que a função de transferência de um filtro passa-faixa é dada por:
(1,25 ponto)
(a) De modo similar demostre que a função de transferência de um filtro rejeita-faixa é dada por:
(1,25 ponto)
Demostre que a função de transferência de um filtro passa-faixa é dada por:
(a) De modo similar demostre que a função de transferência de um filtro rejeita-faixa é dada por:
Passo 1
O enunciado pede duas demonstrações, usando que
é a largura de banda e
é a frequência central dos filtros. As perguntas são:
- (i) Mostrar que a função de transferência de um filtro passa-faixa é
- (ii) De modo similar, mostrar que a função de transferência de um filtro rejeita-faixa (notch) é
Informações relevantes dadas ou que usaremos explicitamente:
-
e são parâmetros do circuito (largura de banda e frequência central). - Para construir um passa-faixa de segunda ordem é comum usar um circuito série
alimentado por uma tensão de entrada e tomar a saída sobre . Esse circuito gera uma resposta em frequência com pico em e largura controlada por (logo por ). - Não é fornecida uma figura, então vou usar esse circuito série como modelo padrão para a demonstração (é o caminho mais direto e clássico).
Passo 2
Derivação do passa-faixa a partir do circuito série
(explicando cada passo).
- Modelo do circuito e impedâncias: em domínio de Laplace, as impedâncias são
- Impedância total em série e corrente: a impedância total é
Se a tensão de entrada for
e a corrente comum for
, então
- Saída sobre
: a tensão de saída (passa-faixa) é a queda sobre :
Logo a função de transferência é
- Colocar em forma racional: escrevendo
com denominador comum ,
Substituindo em
,
- Identificar
e : no circuito série as constantes naturais são
e a largura de banda do pico (para o passa-faixa) relaciona-se com
e
por
(Observação pedagógica:
tem unidades de rad/s; para um circuito série RLC o fator de amortecimento é
e o fator de qualidade é
.)
- Simplificar a expressão usando essas definições: dividir numerador e denominador de
por . Ao fazer isso temos
Portanto obtemos
- Comentário intuitivo: o numerador com
faz com que a resposta tenha ganho nulo em (passa-baixas eliminado) e o denominador com produz ressonância em . Assim esse é um passa-faixa de segunda ordem com largura e centro em . Para análise em regime senoidal usa-se , como indicado no enunciado.
Passo 3
Derivação do rejeita-faixa (notch) usando a relação com o passa-faixa (explicação didática e algebra simples).
- Relação de tensões no circuito série: como as quedas de tensão sobre os elementos se somam,
onde
é a tensão sobre o conjunto
e
(isto é, a parte do circuito “não-
”).
- Se escolhemos o passa-faixa como a saída sobre
, então a tensão sobre é simplesmente
Tomando a função de transferência que dá a saída sobre
em relação à entrada,
- Substituir a expressão de
encontrada no Passo 2:
- Colocar sobre o mesmo denominador e simplificar:
- Interpretação rápida: ao substituir
nota-se que o numerador zera quando , ou seja, há atenuação máxima (zero de transmissão) na frequência — exatamente o comportamento de um rejeita-faixa (notch). Assim a expressão é consistente com a função desejada.
Passo 4
Resumo e checagem: ambas as expressões foram deduzidas a partir de um circuito físico padrão (série
), identificando
e fazendo álgebra direta. A saída sobre
dá o passa-faixa; a saída sobre
(ou simplesmente
menos o passa-faixa) dá o rejeita-faixa. Para resposta em regime senoidal basta usar
.