Considerando que B é a largura de banda e \omega_{0} é a frequência central dos filtros:
Demostre que a função de transferência de um filtro passa-faixa é dada por:
\boldsymbol{H}(s)=\frac{s B}{s^{2}+s B+\omega_{0}^{2}}, s=j \omega
(1,25 ponto)
(a) De modo similar demostre que a função de transferência de um filtro rejeita-faixa é dada por:
\boldsymbol{H}(s)=\frac{s^{2}+\omega_{0}^{2}}{s^{2}+s B+\omega_{0}^{2}}, s=j \omega
(1,25 ponto)

Passo 1

O enunciado pede duas demonstrações, usando que B é a largura de banda e \omega_{0} é a frequência central dos filtros. As perguntas são:
  • (i) Mostrar que a função de transferência de um filtro passa-faixa é
\boldsymbol{H}(s)=\frac{s B}{s^{2}+s B+\omega_{0}^{2}},\quad s=j\omega.
  • (ii) De modo similar, mostrar que a função de transferência de um filtro rejeita-faixa (notch) é
\boldsymbol{H}(s)=\frac{s^{2}+\omega_{0}^{2}}{s^{2}+s B+\omega_{0}^{2}},\quad s=j\omega.
Informações relevantes dadas ou que usaremos explicitamente:
  • B e \omega_{0} são parâmetros do circuito (largura de banda e frequência central).
  • Para construir um passa-faixa de segunda ordem é comum usar um circuito série R\!-\!L\!-\!C alimentado por uma tensão de entrada e tomar a saída sobre R. Esse circuito gera uma resposta em frequência com pico em \omega_{0} e largura controlada por R (logo por B).
  • Não é fornecida uma figura, então vou usar esse circuito série como modelo padrão para a demonstração (é o caminho mais direto e clássico).

Passo 2

Derivação do passa-faixa a partir do circuito série R\!-\!L\!-\!C (explicando cada passo).
  1. Modelo do circuito e impedâncias: em domínio de Laplace, as impedâncias são
Z_{R}=R,\qquad Z_{L}=sL,\qquad Z_{C}=\frac{1}{sC}.
  1. Impedância total em série e corrente: a impedância total é
Z_{\text{tot}}=R+sL+\frac{1}{sC}.
Se a tensão de entrada for V_{\text{in}}(s) e a corrente comum for I(s), então
I(s)=\frac{V_{\text{in}}(s)}{Z_{\text{tot}}}.
  1. Saída sobre R: a tensão de saída V_{\text{out}}(s) (passa-faixa) é a queda sobre R:
V_{\text{out}}(s)=I(s)\,R = \frac{R}{Z_{\text{tot}}}\,V_{\text{in}}(s).
Logo a função de transferência é
\boldsymbol{H}(s)=\frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}=\frac{R}{R+sL+\dfrac{1}{sC}}.
  1. Colocar em forma racional: escrevendo Z_{\text{tot}} com denominador comum sC,
Z_{\text{tot}}=\frac{s^{2}LC+sRC+1}{sC}.
Substituindo em \boldsymbol{H}(s),
\boldsymbol{H}(s)=\frac{R}{\dfrac{s^{2}LC+sRC+1}{sC}}= \frac{R\,sC}{s^{2}LC+sRC+1}.
  1. Identificar \omega_{0} e B: no circuito série as constantes naturais são
\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}\quad\text{(frequência natural ao quadrado)},ê
e a largura de banda do pico (para o passa-faixa) relaciona-se com R e L por
B=\frac{R}{L}.
(Observação pedagógica: B tem unidades de rad/s; para um circuito série RLC o fator de amortecimento é R/L e o fator de qualidade é Q=\dfrac{\omega_{0}L}{R}=\dfrac{\omega_{0}}{B}.)
  1. Simplificar a expressão usando essas definições: dividir numerador e denominador de \dfrac{R\,sC}{s^{2}LC+sRC+1} por LC. Ao fazer isso temos
\text{numerador:}\quad \frac{R\,sC}{LC}=s\frac{R}{L}=sB,
\text{denominador:}\quad \frac{s^{2}LC+sRC+1}{LC}=s^{2}+s\frac{R}{L}+\frac{1}{LC}=s^{2}+sB+\omega_{0}^{2}.
Portanto obtemos
\boldsymbol{H}(s)=\frac{sB}{s^{2}+sB+\omega_{0}^{2}}.
  1. Comentário intuitivo: o numerador com s faz com que a resposta tenha ganho nulo em \omega=0 (passa-baixas eliminado) e o denominador com \omega_{0}^{2} produz ressonância em \omega\approx\omega_{0}. Assim esse \boldsymbol{H}(s) é um passa-faixa de segunda ordem com largura B e centro em \omega_{0}. Para análise em regime senoidal usa-se s=j\omega, como indicado no enunciado.

Passo 3

Derivação do rejeita-faixa (notch) usando a relação com o passa-faixa (explicação didática e algebra simples).
  1. Relação de tensões no circuito série: como as quedas de tensão sobre os elementos se somam,
V_{\text{in}}(s)=V_{R}(s)+V_{LC}(s),
onde V_{LC}(s) é a tensão sobre o conjunto L e C (isto é, a parte do circuito “não- R”).
  1. Se escolhemos o passa-faixa como a saída sobre R, então a tensão sobre LC é simplesmente
V_{LC}(s)=V_{\text{in}}(s)-V_{R}(s)=V_{\text{in}}(s)\bigl(1-\boldsymbol{H}(s)\bigr).
Tomando a função de transferência que dá a saída sobre LC em relação à entrada,
\boldsymbol{H}_{\text{notch}}(s)=1-\boldsymbol{H}_{\text{bp}}(s).
  1. Substituir a expressão de \boldsymbol{H}_{\text{bp}}(s) encontrada no Passo 2:
\boldsymbol{H}_{\text{notch}}(s)=1-\frac{sB}{s^{2}+sB+\omega_{0}^{2}}.
  1. Colocar sobre o mesmo denominador e simplificar:
\boldsymbol{H}_{\text{notch}}(s)=\frac{s^{2}+sB+\omega_{0}^{2}-sB}{s^{2}+sB+\omega_{0}^{2}}=\frac{s^{2}+\omega_{0}^{2}}{s^{2}+sB+\omega_{0}^{2}}.
  1. Interpretação rápida: ao substituir s=j\omega nota-se que o numerador \bigl(-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}\bigr) zera quando \omega=\omega_{0}, ou seja, há atenuação máxima (zero de transmissão) na frequência \omega_{0} — exatamente o comportamento de um rejeita-faixa (notch). Assim a expressão é consistente com a função desejada.

Passo 4

Resumo e checagem: ambas as expressões foram deduzidas a partir de um circuito físico padrão (série R\!-\!L\!-\!C), identificando
\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC},\qquad B=\frac{R}{L},
e fazendo álgebra direta. A saída sobre R dá o passa-faixa; a saída sobre LC (ou simplesmente 1 menos o passa-faixa) dá o rejeita-faixa. Para resposta em regime senoidal basta usar s=j\omega.

Resposta

\boldsymbol{H}(s)=\dfrac{s B}{s^{2}+s B+\omega_{0}^{2}},\\ s=j\omega
\boldsymbol{H}(s)=\dfrac{s^{2}+\omega_{0}^{2}}{s^{2}+s B+\omega_{0}^{2}},\\ s=j\omega

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