Considerando U=\left\{-2,-1, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1,2, \frac{10}{3}, 4\right\}, represente, enumerando seus elementos, os conjuntos abaixo.
\left\{x \in U \mid x^{2}+1=2\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto U=\left\{-2,-1,\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4},1,2,\tfrac{10}{3},4\right\} e pede para representar, enumerando seus elementos, o conjunto
\{x\in U \mid x^{2}+1=2\}.
Ou seja: devo listar todos os elementos de U que satisfazem a equação x^{2}+1=2.

Passo 2

Plano de ação (passo a passo lógico que vou seguir):
  1. Resolver a equação \,x^{2}+1=2, no conjunto dos números reais para obter as possíveis soluções.
  2. Verificar quais dessas soluções pertencem ao conjunto U.
  3. Escrever o conjunto pedido, enumerando os elementos que passaram no filtro.

Passo 3

Resolver a equação \,x^{2}+1=2, por manipulação algébrica simples:
x^{2}+1=2
Subtraindo 1 de ambos os lados,
x^{2}=1.
Agora aplicamos a raiz quadrada: quando x^{2}=1 as soluções são
x=\pm 1,
ou seja, x=1 e x=-1.
Explicação didática rápida: a operação x\mapsto x^{2} faz com que sinais opostos se tornem iguais (pois (-a)^{2}=a^{2}), por isso ao resolver x^{2}=c devemos considerar tanto +\sqrt{c} quanto -\sqrt{c} (se \,c\ge0).

Passo 4

Verificação direta das soluções na equação original (para evitar raízes extranhas):
  • Para x=1: 1^{2}+1=1+1=2, funciona.
  • Para x=-1: (-1)^{2}+1=1+1=2, também funciona.
    Portanto ambas as soluções são válidas.

Passo 5

Agora checar pertencimento a U. O conjunto U fornecido contém explicitamente os elementos -1 e 1 (veja U=\left\{-2,-1,\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4},1,2,\tfrac{10}{3},4\right\}). Como as duas soluções encontradas ( 1 e -1) pertencem a U, ambas devem aparecer no conjunto pedido.

Resposta

\{-1,1\}

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