Dados os conjuntos A=\{a, b, c, d\} e B=\{b, d, e\}, determine todos os conjuntos X tais que X \subset A e X \subset B.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{a,b,c,d\} e B=\{b,d,e\}.
A pergunta é: determinar todos os conjuntos X tais que X\subset A e X\subset B.
Ou seja, encontrar todos os conjuntos X que são subconjuntos de ambos A e B.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa X\subset Y.
Por definição, X\subset Y quer dizer: para todo elemento x, se x\in X então x\in Y. Em palavras: todos os elementos de X também pertencem a Y.

Passo 3

Uma observação-chave (e muito prática para provas):
X\subset A e X\subset B ocorrem exatamente quando X\subset (A\cap B).
Prova rápida:
  • Se X\subset (A\cap B) então todo x\in X pertence a A\cap B, logo pertence tanto a A quanto a B. Assim X\subset A e X\subset B.
  • Se X\subset A e X\subset B, então para qualquer x\in X temos x\in A e x\in B, portanto x\in A\cap B. Assim X\subset (A\cap B).
Portanto, basta encontrar todos os subconjuntos de A\cap B.

Passo 4

Calcular A\cap B usando os conjuntos dados: verificar elemento a elemento (pegando os elementos do enunciado).
  • b está em A e em B, logo b\in A\cap B.
  • d está em A e em B, logo d\in A\cap B.
  • a está em A mas não em B, então a\notin A\cap B.
  • c está em A mas não em B, então c\notin A\cap B.
  • e está em B mas não em A, então e\notin A\cap B.
Logo
A\cap B=\{b,d\}.

Passo 5

Agora listamos todos os subconjuntos de \{b,d\}. Uma regra útil: um conjunto com n elementos tem 2^{n} subconjuntos. Aqui n=2, então há 2^{2}=4 subconjuntos. Vamos enumerá‑los e verificar rapidamente que cada um satisfaz as duas condições:
  • \varnothing (o conjunto vazio). O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, logo satisfaz \varnothing\subset A e \varnothing\subset B.
  • \{b\}. Como b\in A\cap B, tem \{b\}\subset A e \{b\}\subset B.
  • \{d\}. Como d\in A\cap B, tem \{d\}\subset A e \{d\}\subset B.
  • \{b,d\}. Como ambos b e d pertencem a A\cap B, tem \{b,d\}\subset A e \{b,d\}\subset B.
Esses são todos os subconjuntos possíveis de A\cap B, portanto são exatamente todos os conjuntos X que satisfazem X\subset A e X\subset B.

Resposta

\varnothing
\{b\}
\{d\}
\{b,d\}

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