Dados os conjuntos
e
, determine todos os conjuntos
tais que
e
.
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos
e
.
A pergunta é: determinar todos os conjuntos tais que
e
.
Ou seja, encontrar todos os conjuntos que são subconjuntos de ambos
e
.
A pergunta é: determinar todos os conjuntos
Ou seja, encontrar todos os conjuntos
Passo 2
Vamos relembrar o que significa
.
Por definição, quer dizer: para todo elemento
, se
então
. Em palavras: todos os elementos de
também pertencem a
.
Por definição,
Passo 3
Uma observação-chave (e muito prática para provas):
e
ocorrem exatamente quando
.
Prova rápida:
Prova rápida:
- Se
então todo pertence a , logo pertence tanto a quanto a . Assim e . - Se
e , então para qualquer temos e , portanto . Assim .
Portanto, basta encontrar todos os subconjuntos de
.
Passo 4
Calcular
usando os conjuntos dados: verificar elemento a elemento (pegando os elementos do enunciado).
-
está em e em , logo . -
está em e em , logo . -
está em mas não em , então . -
está em mas não em , então . -
está em mas não em , então .
Logo
.
Passo 5
Agora listamos todos os subconjuntos de
. Uma regra útil: um conjunto com
elementos tem
subconjuntos. Aqui
, então há
subconjuntos. Vamos enumerá‑los e verificar rapidamente que cada um satisfaz as duas condições:
-
(o conjunto vazio). O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, logo satisfaz e . -
. Como , tem e . -
. Como , tem e . -
. Como ambos e pertencem a , tem e .
Esses são todos os subconjuntos possíveis de
, portanto são exatamente todos os conjuntos
que satisfazem
e
.