Considerando a lei de ohm em sua forma local, onde consideramos a anisotropia de um meio condutor como
Calcule as componentes da densidade de corrente de condução em função de 2.0 |sigma|=[cc sigmax & 0 0 & sigmay ] (2,0 ptos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Lei de Ohm na forma local, considerando que o material condutor tem propriedades diferentes em direções distintas, ou seja, é anisotrópico. A gente tem uma matriz de condutividade sigma que é diagonal, com sigmax e sigmay nos elementos da diagonal. O que precisamos fazer é calcular as componentes da densidade de corrente de condução em função do potencial elétrico V.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Ohm na forma local relaciona a densidade de corrente J com o campo elétrico E através da condutividade sigma:
J = sigma E
Aqui, sigma é uma matriz que, no nosso caso, é:
sigma = sigmax & 0 0 & sigmay

Passo 3

Agora, precisamos relacionar o campo elétrico E com o potencial elétrico V. Sabemos que:
E = -nabla V
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Em coordenadas cartesianas, isso fica:
E = -( partial Vpartial x, partial Vpartial y )

Passo 4

Vamos agora multiplicar a matriz de condutividade sigma pelo vetor campo elétrico E para encontrar a densidade de corrente J:
J = sigma E = sigmax & 0 0 & sigmay -partial Vpartial x -partial Vpartial y

Passo 5

Realizando a multiplicação das matrizes, temos:
Jx = sigmax ( -partial Vpartial x )
Jy = sigmay ( -partial Vpartial y )
Ou seja:
J = ( -sigmax partial Vpartial x, -sigmay partial Vpartial y )

Resposta

As componentes da densidade de corrente de condução em função de V são:
Jx = -sigmax partial Vpartial x
Jy = -sigmay partial Vpartial y

Exercícios relacionados