Considerando a lei de ohm em sua forma local, onde consideramos a anisotropia de um meio condutor como
Calcule as componentes da densidade de corrente de condução em função de
(2,0 ptos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Lei de Ohm na forma local, considerando que o material condutor tem propriedades diferentes em direções distintas, ou seja, é anisotrópico. A gente tem uma matriz de condutividade
que é diagonal, com
e
nos elementos da diagonal. O que precisamos fazer é calcular as componentes da densidade de corrente de condução em função do potencial elétrico
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Ohm na forma local relaciona a densidade de corrente
com o campo elétrico
através da condutividade
:
Aqui,
é uma matriz que, no nosso caso, é:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar o campo elétrico
com o potencial elétrico
. Sabemos que:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Em coordenadas cartesianas, isso fica:
Passo 4
Vamos agora multiplicar a matriz de condutividade
pelo vetor campo elétrico
para encontrar a densidade de corrente
:
Passo 5
Realizando a multiplicação das matrizes, temos:
Ou seja:
Resposta
As componentes da densidade de corrente de condução em função de
são: