Uma corda está presa em ambas as extremidades
e
. Admitindo que a corda está vibrando livremente sem atenuação, seu movimento é descrito pela equação de onda
Aqui,
é a velocidade da onda e
a altura da onda. Admita uma expansão de Fourier da forma
e determine os coeficientes
. As condições iniciais são
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma corda fixa nas pontas, localizada em $ x = 0 $ e $ x = \ell $. Acorda vibrando sem perder energia, e o movimento dessa vibração é descrito pela equação de onda:
Aqui, $ v $ é a velocidade da onda e $ u(t, x) $ representa a altura da onda em um ponto $ x $ e tempo $ t $. A gente também tem uma expansão de Fourier para $ u(t, x) $:
E as condições iniciais são:
Vamos precisar usar conceitos de equações de onda, séries de Fourier e condições iniciais para encontrar os coeficientes $ b_{n}(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a expansão de Fourier na equação de onda. Isso significa que vamos substituir $ u(t, x) $ pela soma infinita na equação:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as derivadas parciais em relação a $ t $ e $ x $. A derivada em relação a $ t $ só afeta $ b_{n}(t) $, já que $ \sin\left(\frac{n \pi x}{\ell}\right) $ é função de $ x $:
Já a derivada em relação a $ x $ afeta apenas o seno:
Passo 4
Substituindo as derivadas na equação de onda, temos:
Podemos combinar as somas:
Passo 5
Para que essa soma seja igual a zero para todo $ x $, cada coeficiente associado ao seno deve ser zero. Isso nos dá uma equação diferencial para cada $ b_{n}(t) $:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com solução geral da forma:
onde $ A_{n} $ e $ B_{n} $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais. Primeiro, temos $ u(0, x) = f(x) $:
Isso implica que:
Passo 8
A segunda condição é $ \frac{\partial u}{\partial t}(0, x) = g(x) $. Calculando a derivada em relação ao tempo:
Ao avaliar em $ t = 0 $:
Sabendo que $ b’{n}(0) = \frac{n \pi v}{\ell} B{n} $, temos:
Passo 9
Por fim, substituindo $ A_{n} $ e $ B_{n} $ na expressão para $ b_{n}(t) $, temos:
Resposta
Os coeficientes $ b_{n}(t) $ são dados por: