Uma corda está presa em ambas as extremidades (x=0 e x=ell). Admitindo que a corda está vibrando livremente sem atenuação, seu movimento é descrito pela equação de onda
(1v^2 partial^2partial t^2-partial^2partial x^2) u(t, x)=0
Aqui, v é a velocidade da onda e u(t, x) a altura da onda. Admita uma expansão de Fourier da forma
u(t, x)=sumn=1^infty bn(t) sin (n pi xell)
e determine os coeficientes bn(t). As condições iniciais são
u(0, x)=f(x) e partial u(0, x)partial t=g(x)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma corda fixa nas pontas, localizada em $ x = 0 $ e $ x = \ell $. Acorda vibrando sem perder energia, e o movimento dessa vibração é descrito pela equação de onda:
x = 0
Aqui, $ v $ é a velocidade da onda e $ u(t, x) $ representa a altura da onda em um ponto $ x $ e tempo $ t $. A gente também tem uma expansão de Fourier para $ u(t, x) $:
x = ell
E as condições iniciais são:
(1v^2 partial^2partial t^2 - partial^2partial x^2) u(t, x) = 0
Vamos precisar usar conceitos de equações de onda, séries de Fourier e condições iniciais para encontrar os coeficientes $ b_{n}(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a expansão de Fourier na equação de onda. Isso significa que vamos substituir $ u(t, x) $ pela soma infinita na equação:
u(t, x)

Passo 3

Agora, vamos aplicar as derivadas parciais em relação a $ t $ e $ x $. A derivada em relação a $ t $ só afeta $ b_{n}(t) $, já que $ \sin\left(\frac{n \pi x}{\ell}\right) $ é função de $ x $:
t
Já a derivada em relação a $ x $ afeta apenas o seno:
x

Passo 4

Substituindo as derivadas na equação de onda, temos:
1v^2 sumn=1^infty b''n(t) sin(n pi xell) + sumn=1^infty (n piell)^2 bn(t) sin(n pi xell) = 0
Podemos combinar as somas:
sumn=1^infty ( 1v^2 b''n(t) + (n piell)^2 bn(t) ) sin(n pi xell) = 0

Passo 5

Para que essa soma seja igual a zero para todo $ x $, cada coeficiente associado ao seno deve ser zero. Isso nos dá uma equação diferencial para cada $ b_{n}(t) $:
x

Passo 6

Essa é uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com solução geral da forma:
bn(t) = An cos(n pi vell t) + Bn sin(n pi vell t)
onde $ A_{n} $ e $ B_{n} $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais. Primeiro, temos $ u(0, x) = f(x) $:
u(0, x) = f(x)
Isso implica que:
sumn=1^infty bn(0) sin(n pi xell) = f(x)

Passo 8

A segunda condição é $ \frac{\partial u}{\partial t}(0, x) = g(x) $. Calculando a derivada em relação ao tempo:
partial upartial t(0, x) = g(x)
Ao avaliar em $ t = 0 $:
partial upartial t(t, x) = sumn=1^infty b'n(t) sin(n pi xell)
Sabendo que $ b’{n}(0) = \frac{n \pi v}{\ell} B{n} $, temos:
t = 0

Passo 9

Por fim, substituindo $ A_{n} $ e $ B_{n} $ na expressão para $ b_{n}(t) $, temos:
An

Resposta

Os coeficientes $ b_{n}(t) $ são dados por:
bn(t)

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