Considerando que as letras distintas correspondem a algarismos distintos, para que o produto obtido seja o correto, X, Y, Z e T devem ser tais que:
a) X+Y=T+Z
b) X-Z=T-Y
d) X+Z<Y+T
e) X+Y+T+Z<25

Testes

  1. (UF-RR) Sejam r1, r2 e r3 as raízes da equação: x^3+11 x^2-160 x+r=0, r in P. Sabe-se que uma das raízes da equação é -20. Então
    a) As outras duas raízes são 3 e -4.
    b) As outras duas raízes são -4 e 5.
    c) As outras duas raízes são 4 e 5.
    d) As outras duas raízes são -3 e -5.
    e) As outras duas raízes são 3 e 5.

Passo 1

O enunciado dá a equação cúbica
x^3 + 11x^2 - 160x + r = 0,
sendo r um número inteiro positivo e uma das raízes igual a -20. Queremos descobrir as outras duas raízes. Vamos usar o Teorema de Viète, que relaciona coeficientes e raízes de polinômios.

Passo 2

Sejam as raízes (r1,r2,r3) com r1=-20. Pelo Teorema de Viète, para um polinômio monico x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 vale:
r1+r2+r3 = -a2,
r1r2 + r1r3 + r2r3 = a1,
r1r2r3 = -a0
Aqui a2 = 11, a1 = -160, a0 = r.

Passo 3

Da soma das raízes:
r1+r2+r3 = -11 Longrightarrow -20 + (r2+r3) = -11 Longrightarrow r2+r3 = 9

Passo 4

Da soma dos produtos tomados dois a dois:
r1r2 + r1r3 + r2r3 = -160 Longrightarrow -20,(r2+r3) + r2r3 = -160
Como r2+r3=9, substituímos:
-20cdot 9 + r2r3 = -160 Longrightarrow -180 + r2r3 = -160 Longrightarrow r2r3 = 20

Passo 5

Agora precisamos achar dois números inteiros r2 e r3 cuja soma seja 9 e o produto seja 20. Os candidatos são:
(4,5)pois 4+5=9 e 4cdot5=20
Não há outra dupla de inteiros que satisfaça essas duas condições.

Resposta

As outras duas raízes são 4 e 5, isto é, alternativa (c).

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