f(x)=9 x^3+15 x^2-32 x+12, podemos dizer que
a) possui uma raiz real e duas raízes complexas que não são reais.
b) a soma de suas raízes é igual a 15.
c) o produto de suas raízes é igual a 12.
d) uma de suas raízes é positiva de multiplicidade 1.
e) nenhuma de suas raízes é um número natural.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=9x^3+15x^2-32x+12
e pede para identificar qual das afirmações sobre as suas raízes é verdadeira. O conteúdo envolve raízes de polinômios, Teorema das Raízes Racionais e fatoração por divisão sintética (Ruffini).

Passo 2

Pelos possíveis divisores de tfrac129 testamos candidatos inteiros. Para x=-3 temos
f(-3)=9(-3)^3+15(-3)^2-32(-3)+12=-243+135+96+12=0,
logo x=-3 é raiz.

Passo 3

Dividindo f(x) por x+3 via Ruffini, obtemos quociente 9x^2-12x+4 e resto zero. Assim
f(x)=(x+3)(9x^2-12x+4)

Passo 4

O discriminante do quadrático 9x^2-12x+4 é
De<a =(-12)^2-4cdot9cdot4=144-144=0,
logo há uma raiz real dupla em
x=122cdot9=23

Passo 5

As raízes de f são
x=-3(mu<iplicidade 1), x=tfrac23(mu<iplicidade 2)
Analisando as opções:
a) Falsa, pois são três raízes reais.
b) Falsa, pois a soma é -tfrac159=-tfrac53, não 15.
c) Falsa, pois o produto é -tfrac129=-tfrac43, não 12.
d) Falsa, a raiz positiva tfrac23 tem multiplicidade 2.
e) Verdadeira, pois -3 não é natural e tfrac23 também não.

Resposta

(e)

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