h(t)=t^3-30 t^2+243 t+24
com h(t) em metros e t em minutos. No instante t=3 min o balão estava a 510 metros de altura. Determine em que outros instantes t a altura foi também de 510 m.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de altura do balão em função do tempo
h(t)=t^3-30,t^2+243,t+24
com h(t) em metros e t em minutos, e diz que em t=3 min temos h(3)=510 m. A tarefa é encontrar os outros valores de t que tornam h(t)=510 m. Vamos, portanto, resolver a equação cúbica
h(t)=510

Passo 2

Colocando h(t)=510, obtemos
t^3-30,t^2+243,t+24 = 510
Subtraindo 510 dos dois lados, chega-se à forma padrão
t^3-30,t^2+243,t -486 =0

Passo 3

Como já sabemos que t=3 é raiz (pois h(3)=510), podemos dividir o polinômio por (t-3). Usando divisão sintética:
coeficientes: 1,;-30,;243,;-486
Trago 1. times3to3. Somo a -30 e obtenho -27.
-27 times3to-81. Somo a 243 e obtenho 162.
162 times3to486. Somo a -486 e obtenho 0.
Logo
t^3-30,t^2+243,t -486 = (t-3)l(t^2-27,t+162r)

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
t^2-27,t+162=0
O discriminante é
De<a = (-27)^2-4cdot1cdot162 =729-648=81
Assim, as raízes são
t = 27pmraiz812 = 27pm92
Isso dá
t = 27+92=18 e t = 27-92=9

Resposta

Os outros instantes em que a altura é 510 m são t=9 minutos e t=18 minutos.

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