Considerando o livro texto, responda as questões a seguir:
Mostre que o sistema descrito pela seguinte equação é linear:
d yd t+t^2 y(t)=(2 t+3) x(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz assim: “Mostre que o sistema descrito por
dydt + t^2,y(t) ;=;(2t+3),x(t)
é linear.”
Conteúdo: sistemas lineares e operador diferencial.
O que a gente vai precisar:
• Entender o que é um sistema linear (princípio de superposição: aditividade e homogeneidade).
• Mostrar que o operador “d/dt + t²·” é linear em relação a y e x.

Passo 2

Primeiro, revisando o que é linearidade num sistema:
Um sistema que relaciona entradas x1(t)to y1(t) e x2(t)to y2(t) a saídas x(t) = a,x1(t) + b,x2(t) é linear se, sempre que
y(t) = a,y1(t) + b,y2(t)
são soluções, então para quaisquer constantes e a entrada
produz a saída
Isso engloba dois requisitos: aditividade
, e homogeneidade

Passo 3

No nosso caso, o “operador” que age em L[y] ;=;dydt + t^2,y(t) é
L[y1 + y2] = ddt(y1 + y2) + t^2,(y1 + y2) = l(tfracdy1dt+t^2y1r) + l(tfracdy2dt+t^2y2r) = L[y1] + L[y2]
Temos também o lado direito L[a,y] = ddt(a,y) + t^2,(a,y) = a,dydt + a,t^2y = a,l(tfracdydt+t^2yr) = a,L[y] .
Vamos ver que é linear em :
  1. Aditividade:
  1. Homogeneidade:

Passo 4

Agora aplicamos o princípio de superposição ao sistema todo:
Se para L[a,y1 + b,y2] = a,L[y1] + b,L[y2] = a,(2t+3),x1 + b,(2t+3),x2 = (2t+3),l(a,x1 + b,x2r) a solução for , ou seja

e para a solução for , ou seja

então, para qualquer combinação linear , temos
Ou seja, a saída correspondente é . Foi o que precisávamos!

Resposta

O sistema
dydt + t^2,y(t) = (2t+3),x(t)
satisfaz o princípio de superposição (aditividade e homogeneidade) e, portanto, é linear.

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