Considerando o livro texto, responda as questões a seguir:
Mostre que o sistema descrito pela seguinte equação é linear:
Mostre que o sistema descrito pela seguinte equação é linear:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz assim: “Mostre que o sistema descrito por
é linear.”
Conteúdo: sistemas lineares e operador diferencial.
O que a gente vai precisar:
• Entender o que é um sistema linear (princípio de superposição: aditividade e homogeneidade).
• Mostrar que o operador “d/dt + t²·” é linear em relação a y e x.
Conteúdo: sistemas lineares e operador diferencial.
O que a gente vai precisar:
• Entender o que é um sistema linear (princípio de superposição: aditividade e homogeneidade).
• Mostrar que o operador “d/dt + t²·” é linear em relação a y e x.
Passo 2
Primeiro, revisando o que é linearidade num sistema:
Um sistema que relaciona entradas a saídas
é linear se, sempre que
Um sistema que relaciona entradas
são soluções, então para quaisquer constantes
e
a entrada
produz a saída
Isso engloba dois requisitos: aditividade
, e homogeneidade
Passo 3
No nosso caso, o “operador” que age em
é
Temos também o lado direito
.
Vamos ver que é linear em
:
Vamos ver que
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Passo 4
Agora aplicamos o princípio de superposição ao sistema todo:
Se para a solução for
, ou seja
e para a solução for
, ou seja
então, para qualquer combinação linear , temos
Se para
e para
então, para qualquer combinação linear
Ou seja, a saída correspondente é
. Foi o que precisávamos!
Resposta
O sistema
satisfaz o princípio de superposição (aditividade e homogeneidade) e, portanto, é linear.