Use os três primeiros termos da série de Taylor para calcular:
integral0^1 cos x^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar os três primeiros termos da série de Taylor para calcular a integral de $ \cos(x^2) $ de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de séries de Taylor e cálculo de integrais. Vamos precisar entender como expandir a função $ \cos(x^2) $ em série de Taylor e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para a função $ \cos(x) $:
cos(x)
Agora, como queremos a série para $ \cos(x^2) $, basta substituir $ x $ por $ x^2 $ na série acima:
cos(x) = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + dots
Simplificando os expoentes:
cos(x^2)
Como precisamos dos três primeiros termos, vamos ficar com:
x

Passo 3

Agora, vamos integrar essa aproximação de $ \cos(x^2) $ de 0 a 1:
cos(x^2)
Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 cos(x^2) , dx approx integral0^1 (1 - x^42 + x^824) dx
integral0^1 1 , dx = x gr|0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 x^42 , dx = 12 cdot x^55 gr|0^1 = 12 cdot (15 - 0) = 110

Passo 4

Agora, vamos somar tudo:
integral0^1 cos(x^2) , dx approx 1 - 110 + 1216
Vamos converter as frações para o mesmo denominador ou para decimais para facilitar:
1 = 1.000
110 = 0.100
1216 approx 0.00463
Então:
1.000 - 0.100 + 0.00463 = 0.90463

Resposta

A integral de $ \cos(x^2) $ de 0 a 1, usando os três primeiros termos da série de Taylor, é aproximadamente 0,9046.

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