Use os três primeiros termos da série de Taylor para calcular:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar os três primeiros termos da série de Taylor para calcular a integral de $ \cos(x^2) $ de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de séries de Taylor e cálculo de integrais. Vamos precisar entender como expandir a função $ \cos(x^2) $ em série de Taylor e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para a função $ \cos(x) $:
Agora, como queremos a série para $ \cos(x^2) $, basta substituir $ x $ por $ x^2 $ na série acima:
Simplificando os expoentes:
Como precisamos dos três primeiros termos, vamos ficar com:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa aproximação de $ \cos(x^2) $ de 0 a 1:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos somar tudo:
Vamos converter as frações para o mesmo denominador ou para decimais para facilitar:
Então:
Resposta
A integral de $ \cos(x^2) $ de 0 a 1, usando os três primeiros termos da série de Taylor, é aproximadamente 0,9046.