Ache o intervalo de convergência das séries de potências
sumn=1^infty (-1)^n cdot 3n!(x-4)^n;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n cdot 3n!(x-4)^n
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão para descobrir para quais valores de $ x $ a série vai convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. A ideia é ver o limite da razão entre o termo geral $ a_{n+1} $ e $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
an+1
Se $ L < 1 $, a série converge absolutamente. Se $ L > 1 $, a série diverge. Se $ L = 1 $, o teste não foi conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral $ a_n $:
an
Agora, calculamos $ a_{n+1} $:
an = (-1)^n cdot 3n!(x-4)^n
A razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $ fica assim:
an+1
Simplificando:
an+1 = (-1)^n+1 cdot 3(n+1)!(x-4)^n+1
Isso simplifica para:
an+1an
Tomando o valor absoluto:
an+1an = (-1)^n+1 cdot 3(n+1)!(x-4)^n+1 cdot n!(-1)^n cdot 3(x-4)^-n

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Como $ 0 < 1 $, segundo o Teste da Razão, a série converge absolutamente para todo valor de $ x $.

Resposta

O intervalo de convergência da série é todos os números reais. Ou seja, $ x $ pode ser qualquer número:
x

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