Ache o intervalo de convergência das séries de potências
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa achar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão para descobrir para quais valores de $ x $ a série vai convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. A ideia é ver o limite da razão entre o termo geral $ a_{n+1} $ e $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
Se $ L < 1 $, a série converge absolutamente. Se $ L > 1 $, a série diverge. Se $ L = 1 $, o teste não foi conclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral $ a_n $:
Agora, calculamos $ a_{n+1} $:
A razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $ fica assim:
Simplificando:
Isso simplifica para:
Tomando o valor absoluto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Como $ 0 < 1 $, segundo o Teste da Razão, a série converge absolutamente para todo valor de $ x $.
Resposta
O intervalo de convergência da série é todos os números reais. Ou seja, $ x $ pode ser qualquer número: