Por meio de uma translação escreva a equação da cônica na forma padrão e identifique seus elementos principais.
x^2+y^2+2 x-4 y=20 ( a circunferência barx^2+bary^2=25 )

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2+y^2+2x-4y=20
que é uma cônica do tipo circunferência. Vamos usar completar quadrados e uma translação de eixos para obter a forma padrão e, a partir dela, identificar centro e raio.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos o quadrado em cada grupo:
x^2+2x + y^2-4y = 20
Adicionamos e subtraímos as constantes necessárias:
l(x^2+2x+1r)-1 ;+;l(y^2-4y+4r)-4 = 20
Isso nos dá
(x+1)^2-1 + (y-2)^2-4 = 20

Passo 3

Isolando os quadrados e somando os termos constantes ao lado direito:
(x+1)^2+(y-2)^2 = 20 + 1 + 4 = 25

Passo 4

Definimos a translação de eixos
barx = x+1, bary = y-2,
de modo que a equação passe a ser
barx^2 + bary^2 = 25

Passo 5

Na forma padrão de uma circunferência barx^2+bary^2=R^2 temos:
– centro na origem do sistema (barx,bary), que corresponde a (x,y)=(-1,2) no sistema original;
– raio R = raiz25 = 5.

Resposta

Equação na forma padrão:
(x+1)^2+(y-2)^2=25
Centro: (-1,2)
Raio: 5
Em coordenadas transladadas: barx^2+bary^2=25.

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