- (Valor: 3.0)Uma esfera de raio
tem o vetor de polarização elétrica dada por
onde
é uma constante e
é o vetor posição que sai da origem do sistema de coordenadas esféricas. Fora da esfera temos vácuo. Nestas condições, Calcule:
(a) As densidades de carga ligada (i) superficial
e (ii) volumétrica
.
(b) 0 vetor campo elétrico
nas regiões (i)
e (ii)
.
Dado: Divergência do campo
é
(em coordenadas esféricas).
(a) As densidades de carga ligada (i) superficial
(b) 0 vetor campo elétrico
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio
com polarização elétrica
e
se
. Aqui
é o vetor posição a partir da origem e
é uma constante. Ele pede:
(a) as densidades de carga ligada (i) superficial e (ii) volumétrica
;
(b) o campo elétrico nas regiões (i)
e (ii)
.
(a) as densidades de carga ligada (i) superficial
(b) o campo elétrico
Informações úteis que o enunciado já fornece e vamos usar: a fórmula da divergência para um campo radial
,
Passo 2
Relembrando as fórmulas que definem cargas ligadas (essenciais aqui) e o porquê delas: a polarização cria duas contribuições de carga chamada “ligada”:
- densidade de carga volumétrica ligada:
Isto vem da relação
que aparece na eletrostática de meios polarizáveis (é uma identidade definidora de
).
- densidade de carga superficial ligada na superfície do dielétrico:
onde
é o vetor normal unitário apontando para fora da região polarizada. Vamos aplicar essas fórmulas ao nosso
.
Passo 3
Expressar
em forma conveniente. Como
, para
temos
Portanto o componente radial é
. Para
temos
.
Passo 4
Calcular a densidade volumétrica ligada
para
. Usamos a fórmula e a divergência radial dada:
Derivando,
logo
Portanto, aplicando
, obtemos para
Para
, como
, temos
.
Observação didática rápida: isso significa que dentro da esfera há uma densidade volumétrica constante (uniforme) de carga ligada igual a
. Anote mentalmente: densidade negativa se
.
Passo 5
Calcular a densidade superficial ligada
na superfície
. A normal externa da esfera é
. Avaliamos
no interior da superfície (aproximando pela parte polarizada):
Logo
Para outras superfícies (não existentes aqui)
seria zero, e fora da esfera
.
Passo 6
Agora vamos achar o campo elétrico
. Como não há cargas livres no problema, a equação de Maxwell relevante é
onde
. Aqui
, então
. A configuração é esfericamente simétrica, então
será radial:
. Assim podemos usar a Lei de Gauss na forma integral para encontrar
:
Com simetria esférica
.
Passo 7
Campo dentro da esfera (
). Primeiro calculamos a carga ligada total encerrada por uma superfície esférica de raio
. Só há contribuição volumétrica dentro de
(a superfície em
está fora), então
Substituindo
,
Aplicando Gauss:
Isolando
,
Como vetor,
Interpretação: o campo aponta radialmente para dentro se
.
Passo 8
Campo fora da esfera (
). Agora a superfície de Gauss de raio
encerra tanto a densidade volumétrica ligada em todo o volume
quanto a densidade superficial
na casca
. Calculamos a carga total encerrada
:
- carga volumétrica total (para todo o volume da esfera):
- carga superficial total na casca
:
Somando,
Portanto a carga ligada total é zero — há cancelamento perfeito entre a carga volumétrica e a superficial.
Aplicando Gauss para
,
logo
Físicamente: fora da esfera o campo é nulo porque as cargas ligadas internas somam zero; a distribuição de polarização é tal que não gera campo externo.
Passo 9
Resumo didático-final — o que fizemos e por que funciona: primeiro usamos as definições de
e
a partir de
. Calculamos a divergência de
(usando a fórmula dada) para obter
. Depois usamos Gauss (explorando a simetria esférica) para integrar a densidade de carga e obter o campo elétrico em cada região. Observação prática para a prova: sempre cheque se há contribuição de superfície ao calcular
quando a superfície de Gauss atravessa ou envolve interfaces com
.
Resposta
(a)(i)
(na superfície
).
(a)(ii) para
e
para
.
(b)(i) para
.
(b)(ii) para
.
(a)(ii)
(b)(i)
(b)(ii)