1. (Valor: 3.0)Uma esfera de raio R tem o vetor de polarização elétrica dada por
\vec{P}(\vec{r})=k \vec{r} \text { se } \vec{r}<R \text { e } \vec{P}(\vec{r})=0 \text { se } \quad r>R \text {. }
onde k é uma constante e \vec{r} é o vetor posição que sai da origem do sistema de coordenadas esféricas. Fora da esfera temos vácuo. Nestas condições, Calcule:
(a) As densidades de carga ligada (i) superficial \sigma_{b} e (ii) volumétrica \rho_{b}.
(b) 0 vetor campo elétrico \vec{E} nas regiões (i) r<R e (ii) r>R.
Dado: Divergência do campo \vec{F}=F_{r} \hat{r} é (\nabla \cdot \vec{F})_{r}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} F_{r}\right) (em coordenadas esféricas).

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio R com polarização elétrica
\vec{P}(\vec{r}) = k\vec{r}\quad\text{se}\quad r<R,
e \vec{P}(\vec{r})=0 se r>R. Aqui \vec{r}=r\hat r é o vetor posição a partir da origem e k é uma constante. Ele pede:
(a) as densidades de carga ligada (i) superficial \sigma_{b} e (ii) volumétrica \rho_{b};
(b) o campo elétrico \vec{E} nas regiões (i) r<R e (ii) r>R.
Informações úteis que o enunciado já fornece e vamos usar: a fórmula da divergência para um campo radial \vec{F}=F_r\hat r,
(\nabla\cdot\vec{F})=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}F_{r}).

Passo 2

Relembrando as fórmulas que definem cargas ligadas (essenciais aqui) e o porquê delas: a polarização cria duas contribuições de carga chamada “ligada”:
  • densidade de carga volumétrica ligada:
\rho_{b} = -\nabla\cdot\vec{P}.
Isto vem da relação \nabla\cdot\vec{P} = -\rho_b que aparece na eletrostática de meios polarizáveis (é uma identidade definidora de \rho_b).
  • densidade de carga superficial ligada na superfície do dielétrico:
\sigma_{b} = \vec{P}\cdot\hat{n},
onde \hat{n} é o vetor normal unitário apontando para fora da região polarizada. Vamos aplicar essas fórmulas ao nosso \vec{P}.

Passo 3

Expressar \vec{P} em forma conveniente. Como \vec{r}=r\hat r, para r<R temos
\vec{P} = k\vec{r} = k r \hat r.
Portanto o componente radial é P_{r}=k r. Para r>R temos \vec{P}=0.

Passo 4

Calcular a densidade volumétrica ligada \rho_{b} para r<R. Usamos a fórmula e a divergência radial dada:
\nabla\cdot\vec{P}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}P_{r}\big) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}\cdot k r\big) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(k r^{3}\big).
Derivando,
\frac{\partial}{\partial r}\big(k r^{3}\big)=3k r^{2},
logo
\nabla\cdot\vec{P}=\frac{1}{r^{2}}\cdot 3k r^{2}=3k.
Portanto, aplicando \rho_{b}=-\nabla\cdot\vec{P}, obtemos para r<R
\rho_{b} = -3k.
Para r>R, como \vec{P}=0, temos \rho_{b}=0.
Observação didática rápida: isso significa que dentro da esfera há uma densidade volumétrica constante (uniforme) de carga ligada igual a -3k. Anote mentalmente: densidade negativa se k>0.

Passo 5

Calcular a densidade superficial ligada \sigma_{b} na superfície r=R. A normal externa da esfera é \hat{n}=\hat r. Avaliamos \vec{P} no interior da superfície (aproximando pela parte polarizada):
\vec{P}(r=R)=kR\hat r.
Logo
\sigma_{b}=\vec{P}\cdot\hat{n}=kR\hat r\cdot\hat r = kR.
Para outras superfícies (não existentes aqui) \sigma_b seria zero, e fora da esfera \vec{P}=0.

Passo 6

Agora vamos achar o campo elétrico \vec{E}. Como não há cargas livres no problema, a equação de Maxwell relevante é
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho_{\text{total}}}{\varepsilon_{0}},
onde \rho_{\text{total}}=\rho_{\text{free}}+\rho_{b}. Aqui \rho_{\text{free}}=0, então \rho_{\text{total}}=\rho_{b}. A configuração é esfericamente simétrica, então \vec{E} será radial: \vec{E}=E(r)\hat r. Assim podemos usar a Lei de Gauss na forma integral para encontrar E(r):
\oint \vec{E}\cdot d\vec{a} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Com simetria esférica \oint \vec{E}\cdot d\vec{a}=E(r)\,4\pi r^{2}.

Passo 7

Campo dentro da esfera ( r<R). Primeiro calculamos a carga ligada total encerrada por uma superfície esférica de raio r<R. Só há contribuição volumétrica dentro de r (a superfície em R está fora), então
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r}\rho_{b} \, dV =\rho_{b}\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Substituindo \rho_{b}=-3k,
Q_{\text{enc}}(r)=(-3k)\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3} = -4\pi k r^{3}.
Aplicando Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}}=\frac{-4\pi k r^{3}}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E(r),
E(r) = \frac{-4\pi k r^{3}}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}} = -\frac{k}{\varepsilon_{0}}\,r.
Como vetor,
\vec{E}(r) = -\frac{k}{\varepsilon_{0}}\,r\;\hat r \quad\text{para } r<R.
Interpretação: o campo aponta radialmente para dentro se k>0.

Passo 8

Campo fora da esfera ( r>R). Agora a superfície de Gauss de raio r>R encerra tanto a densidade volumétrica ligada em todo o volume r\le R quanto a densidade superficial \sigma_{b} na casca r=R. Calculamos a carga total encerrada Q_{\text{tot}}:
  • carga volumétrica total (para todo o volume da esfera):
Q_{\text{vol}} = \rho_{b}\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3} = (-3k)\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3} = -4\pi k R^{3}.
  • carga superficial total na casca r=R:
Q_{\text{surf}} = \sigma_{b}\cdot 4\pi R^{2} = (kR)\cdot 4\pi R^{2} = 4\pi k R^{3}.
Somando,
Q_{\text{tot}} = Q_{\text{vol}} + Q_{\text{surf}} = -4\pi k R^{3} + 4\pi k R^{3} = 0.
Portanto a carga ligada total é zero — há cancelamento perfeito entre a carga volumétrica e a superficial.
Aplicando Gauss para r>R,
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}} = 0,
logo
\vec{E}(r) = 0 \quad\text{para } r>R.
Físicamente: fora da esfera o campo é nulo porque as cargas ligadas internas somam zero; a distribuição de polarização é tal que não gera campo externo.

Passo 9

Resumo didático-final — o que fizemos e por que funciona: primeiro usamos as definições de \rho_b e \sigma_b a partir de \vec{P}. Calculamos a divergência de \vec{P} (usando a fórmula dada) para obter \rho_b. Depois usamos Gauss (explorando a simetria esférica) para integrar a densidade de carga e obter o campo elétrico em cada região. Observação prática para a prova: sempre cheque se há contribuição de superfície ao calcular Q_{\text{enc}} quando a superfície de Gauss atravessa ou envolve interfaces com \sigma_b.

Resposta

(a)(i) \sigma_{b}=kR (na superfície r=R).
(a)(ii) \rho_{b}=-3k para r<R e \rho_{b}=0 para r>R.
(b)(i) \displaystyle \vec{E}(r)=-\frac{k}{\varepsilon_{0}}\,r\;\hat r para r<R.
(b)(ii) \vec{E}(r)=0 para r>R.

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