Considerando 1 mol de gás monoatômico ideal esboce o diagrama PV; calcule a Variação de Energia interna, o Trabalho, e o Calor para cada um dos processos a seguir:
Utilize \mathrm{R}=0,1 \mathrm{atmL} / \mathrm{molK} ou \mathrm{R}=10 \mathrm{~J} / \mathrm{molK}
Processo adiabático com \mathrm{P}_{\mathrm{i}}=10 ; \mathrm{P}_{\mathrm{f}}=1 \mathrm{~atm} ; \mathrm{V}_{\mathrm{i}}=1 \mathrm{~L} e \mathrm{V}_{\mathrm{f}}=4 \mathrm{~L}.

Passo 1

O enunciado dá um processo adiabático para 1 mol de gás monoatômico ideal e pede: esboçar o diagrama PV e calcular a variação da energia interna \Delta U, o trabalho W e o calor Q do processo. Dados numéricos fornecidos:
n=1,\quad P_i=10\\ \mathrm{atm},\quad V_i=1\\ \mathrm{L},\quad P_f=1\\ \mathrm{atm},\quad V_f=4\\ \mathrm{L}.
O enunciado permite usar \mathrm{R}=0{,}1\\ \mathrm{atm\,L\,mol^{-1}\,K^{-1}} (unidades compatíveis com atm e L) ou \mathrm{R}=10\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} (usar nesse caso unidades SI: P em Pa, V em m ^3). Neste problema vou calcular usando ambas as convenções para mostrar consistência numérica entre as unidades. O processo é adiabático, portanto por definição Q=0. A resolução numérica começa no próximo passo.

Passo 2

Relembre (aulas rápidas):
  • Lei dos gases ideais: \;PV=nRT\;. Aqui P é pressão, V volume, n número de mols, R constante dos gases e T temperatura absoluta (K).
  • Energia interna de um gás monoatômico ideal: \;U=\tfrac{3}{2}nRT\;. Isso vem do fato de que cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}RT por mol e um gás monoatômico tem 3 graus de liberdade transladacionais.
  • Capacidades molares: \;C_V=\tfrac{3}{2}R,\; C_P=C_V+R=\tfrac{5}{2}R\;. Logo a razão adiabática é \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}=\dfrac{5/2}{3/2}=\dfrac{5}{3}.
Vou primeiro obter as temperaturas inicial e final usando a forma prática com \mathrm{R}=0{,}1\\ \mathrm{atm\,L\,mol^{-1}\,K^{-1}}, porque os dados de P e V estão em atm e L.
Calcule T_i e T_f por \;T=\dfrac{PV}{nR}:
T_i=\dfrac{P_iV_i}{nR}=\dfrac{10\cdot 1}{1\cdot 0{,}1}=100\\ \mathrm{K},
T_f=\dfrac{P_fV_f}{nR}=\dfrac{1\cdot 4}{1\cdot 0{,}1}=40\\ \mathrm{K}.
Portanto \Delta T=T_f-T_i=40-100=-60\\ \mathrm{K}. Guarde esse valor para calcular \Delta U.

Passo 3

Cálculo da variação da energia interna \Delta U (fórmula e explicação):
  • Para gás perfeito monatomic, \;U=\tfrac{3}{2}nRT\;. Assim a variação entre dois estados é
\Delta U=\tfrac{3}{2}nR(T_f-T_i)=nC_V\Delta T.
Aqui n=1,\;C_V=\tfrac{3}{2}R e \Delta T=-60\\ \mathrm{K}. Usando \;R=0{,}1\\ \mathrm{atm\,L\,mol^{-1}\,K^{-1}}:
\Delta U=\tfrac{3}{2}\cdot 1\cdot 0{,}1\cdot(-60)=\tfrac{3}{2}\cdot 0{,}1\cdot(-60)=0{,}15\cdot(-60)=-9\\ \mathrm{atm\,L}.
Interpretação: a energia interna diminuiu (o gás esfriou) em 9\\ \mathrm{atm\,L}.
Conversão para joules (se preferir SI): 1\\ \mathrm{atm\,L}=101{,}325\\ \mathrm{J}. Então
\Delta U=-9\cdot 101{,}325\\ \mathrm{J}=-911{,}925\\ \mathrm{J}\approx -9{,}12\times 10^{2}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Cálculo do trabalho W para processo adiabático (teoria e derivação):
  • Convenção de sinais usada: W=\displaystyle\int_{V_i}^{V_f} P\,dV é o trabalho realizado pelo gás.
  • Para uma transformação adiabática reversível de gás ideal: \;PV^\gamma=\text{const}. Logo P=C\,V^{-\gamma} com C=P_iV_i^\gamma.
  • O trabalho é
W=\int_{V_i}^{V_f}C\,V^{-\gamma}\,dV = C\left[\dfrac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right]_{V_i}^{V_f} =\dfrac{C}{1-\gamma}\bigl(V_f^{1-\gamma}-V_i^{1-\gamma}\bigr).
Substituindo C=P_iV_i^\gamma e manipulando (passo algébrico padrão) chega-se à forma prática
W=\dfrac{P_iV_i-P_fV_f}{\gamma-1}.
Esta forma é muito útil porque usa apenas os estados inicial e final (válida para gás ideal em adiabat reversível).
Agora aplique com \gamma=\tfrac{5}{3}:
\gamma-1=\tfrac{5}{3}-1=\tfrac{2}{3}.
Calcule P_iV_i e P_fV_f em \mathrm{atm\,L}:
P_iV_i=10\cdot 1=10\\ \mathrm{atm\,L},\qquad P_fV_f=1\cdot 4=4\\ \mathrm{atm\,L}.
Então
W=\dfrac{10-4}{2/3}=\dfrac{6}{2/3}=6\cdot \dfrac{3}{2}=9\\ \mathrm{atm\,L}.
Sinal e interpretação: W=+9\\ \mathrm{atm\,L} significa que o gás realizou trabalho (expansão). Isso deve ser consistente com \Delta U e Q pela primeira lei: \Delta U=Q-W. Como o processo é adiabático Q=0, então \Delta U=-W. De fato \Delta U=-9\\ \mathrm{atm\,L} e W=+9\\ \mathrm{atm\,L} batem.
Converter para joules:
W=9\cdot 101{,}325\\ \mathrm{J}=911{,}925\\ \mathrm{J}\approx 9{,}12\times 10^{2}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Verificação usando a forma SI com \mathrm{R}=10\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} (mostrando consistência):
  • Converta P e V para SI:
P_i=10\\ \mathrm{atm}=10\cdot 1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}=1{,}01325\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa},
V_i=1\\ \mathrm{L}=1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
Calcule T_i=\dfrac{P_iV_i}{nR}=\dfrac{1{,}01325\times 10^{6}\cdot 1{,}0\times 10^{-3}}{10}=101{,}325\\ \mathrm{K}.
De modo análogo,
P_f=1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa},\qquad V_f=4\\ \mathrm{L}=4{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3},
T_f=\dfrac{P_fV_f}{R}=\dfrac{1{,}01325\times 10^{5}\cdot 4{,}0\times 10^{-3}}{10}=40{,}53\\ \mathrm{K}.
\Delta T\approx -60{,}795\\ \mathrm{K}. Então
\Delta U=\tfrac{3}{2}nR\Delta T=\tfrac{3}{2}\cdot 1\cdot 10\cdot(-60{,}795)\approx -911{,}925\\ \mathrm{J},
W=-\Delta U\approx +911{,}925\\ \mathrm{J},\qquad Q=0.
Conclusão: usando a convenção SI com \mathrm{R}=10\\ \mathrm{J/(mol\,K)} obtemos resultados numéricos que coincidem (dentro de arredondamento) com a conversão das respostas em \mathrm{atm\,L}. Isso confirma consistência.
Observação sobre o diagrama PV: a curva adiabática que liga (V_i,P_i)=(1\\ \mathrm{L},10\\ \mathrm{atm}) a (4\\ \mathrm{L},1\\ \mathrm{atm}) é dada por PV^\gamma= constante com \gamma=5/3. Em um esboço P no eixo vertical e V no horizontal, desenhe um ramo que parte do ponto V=1,\\ P=10 e decresce até V=4,\\ P=1. A curva adiabática é mais inclinada (mais “rica”) que uma isotérmica (ou seja, cai mais rápido que uma isotérmica que passe por um desses pontos).

Resposta

Esboço PV: curva adiabática PV^{\gamma}= const com \gamma=\tfrac{5}{3} ligando (1\\ \mathrm{L},10\\ \mathrm{atm}) a (4\\ \mathrm{L},1\\ \mathrm{atm}) (curva mais inclinada que isotermas).
\Delta U=-9\\ \mathrm{atm\,L}\approx -911{,}9\\ \mathrm{J}.
W=+9\\ \mathrm{atm\,L}\approx +911{,}9\\ \mathrm{J}.
Q=0.

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