Considerando 1 mol de gás monoatômico ideal esboce o diagrama PV; calcule a Variação de Energia interna, o Trabalho, e o Calor para cada um dos processos a seguir:
Utilize \mathrm{R}=0,1 \mathrm{atmL} / \mathrm{molK} ou \mathrm{R}=10 \mathrm{~J} / \mathrm{molK}
(c) Temperatura constante de 200 K , com pressão inicial de 1000 Pa e volume final de 10 \mathrm{~m} 3 .

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o diagrama PV e calcule a variação de energia interna, o trabalho e o calor para um processo isotérmico (temperatura constante) com as condições: um mol de gás monoatômico, temperatura T=200\\ \mathrm{K}, pressão inicial P_i=1000\\ \mathrm{Pa} e volume final V_f=10\\ \mathrm{m}^3. Também foi dada a constante dos gases no formato conveniente para cálculos: \mathrm{R}=10\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
n=1,\quad T=200\\ \mathrm{K},\quad P_i=1000\\ \mathrm{Pa},\quad V_f=10\\ \mathrm{m}^3,\quad R=10\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.
O que é pedido explicitamente: calcular \Delta U (variação da energia interna), W (trabalho realizado pelo gás) e Q (calor trocado) para esse processo isotérmico. Não há volume inicial dado diretamente, mas posso obtê‑lo usando a lei dos gases ideais.

Passo 2

Vou achar o volume inicial usando a lei dos gases ideais. A lei dos gases ideais é
PV=nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura. Todas as grandezas devem estar em unidades compatíveis (Pa, m ^3, J, K). Então o volume inicial é
V_i=\frac{nRT}{P_i}.
Substituindo os valores ( n=1, R=10\\ \mathrm{J/(mol\,K)}, T=200\\ \mathrm{K}, P_i=1000\\ \mathrm{Pa}):
V_i=\frac{1\cdot 10\cdot 200}{1000}=\frac{2000}{1000}=2\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

Também posso obter a pressão final usando a mesma lei, porque a temperatura é constante e nRT é uma constante:
P_f=\frac{nRT}{V_f}=\frac{2000}{10}=200\\ \mathrm{Pa}.
Portanto o processo vai de (P_i,V_i)=(1000\\ \mathrm{Pa},\;2\\ \mathrm{m}^3) até (P_f,V_f)=(200\\ \mathrm{Pa},\;10\\ \mathrm{m}^3).

Passo 4

Antes de calcular as quantidades termodinâmicas, lembro a expressão da energia interna de um gás ideal monoatômico. Para um gás ideal monoatômico a energia interna total é
U=\frac{f}{2}\,nRT,
onde f é o número de graus de liberdade; para monoatômico f=3. Logo
U=\frac{3}{2}nRT.
Como o processo é isotérmico ( T constante) e n e R também são constantes, a variação da energia interna é
\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T=0,
porque \Delta T=0. Conclusão importante para a prova: em qualquer processo isotérmico de gás ideal (qualquer número de mols, monoatômico ou não), \Delta U=0.

Passo 5

Agora calculo o trabalho. Trabalho realizado pelo gás em um processo quasiestático é
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
Para um gás ideal isotérmico temos P=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo na integral:
W=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,dV = nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Observe a interpretação: esse W é o trabalho realizado pelo gás (sinal positivo significa trabalho feito pelo sistema sobre o entorno).

Passo 6

Faço a conta numérica do trabalho usando nRT=1\cdot 10\cdot 200=2000\\ \mathrm{J} e os volumes já encontrados V_i=2\\ \mathrm{m}^3, V_f=10\\ \mathrm{m}^3:
W = 2000\ln\!\left(\frac{10}{2}\right)=2000\ln 5.
Aproximando \ln 5\approx 1,6094379, então
W \approx 2000\times 1,6094379 \approx 3218,88\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Pela primeira lei da termodinâmica:
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor recebido pelo sistema e W o trabalho realizado pelo sistema. Rearranjando:
Q=\Delta U+W.
Como já achei \Delta U=0, então
Q=W\approx 3218,88\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: como o gás se expande isotermicamente, ele realiza trabalho que é fornecido pelo calor absorvido do reservatório térmico (temperatura fixa).

Passo 8

Esboço do diagrama PV (descrição que você pode desenhar na prova):
  • Eixo horizontal: V (m ^3); eixo vertical: P (Pa).
  • Traçar uma isoterma do tipo hiperbólica P=\dfrac{nRT}{V} passando por (V_i,P_i)=(2,1000) e (V_f,P_f)=(10,200).
  • Marque o ponto inicial em V=2\\ \mathrm{m}^3, P=1000\\ \mathrm{Pa} e o ponto final em V=10\\ \mathrm{m}^3, P=200\\ \mathrm{Pa}. A curva decresce suavemente entre esses pontos. A área sob a curva entre V_i e V_f é o trabalho W.

Passo 9

Resumo das contas e verificação de consistência das unidades:
  • Usei unidades SI (Pa, m ^3, J, K) e a constante R=10\\ \mathrm{J/(mol\,K)} fornecida.
  • Valores intermediários: V_i=2\\ \mathrm{m}^3,\;P_f=200\\ \mathrm{Pa},\;nRT=2000\\ \mathrm{J}.
  • Resultados finais consistentes: \Delta U=0 (isotérmico), W>0 (expansão, trabalho realizado pelo gás), Q=W (energia fornecida como calor).

Resposta

\Delta U=0\\ \mathrm{J}
W=2000\ln 5\approx 3218,88\\ \mathrm{J}
Q\approx 3218,88\\ \mathrm{J}

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