( 7 pontos) Uma barra fina e homogênea, de Massa M e comprimento L, está centrada na origem e colocada sobre o eixo x. O campo gravitacional que a barra produz em um ponto qualquer do eixo x, na regiāo em que x>L / 2 é dado pela expressão -\frac{G M}{x^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{\imath}, onde \hat{\imath} é o vetor unitário na direção x. Se uma partícula de massa m é colocada num ponto qualquer x>L / 2, atuará sobre ela uma força dada pela expressão . . .
a) +\frac{G M m}{x^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{\imath}
b) +\frac{G M}{x^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{\imath}
c) -\frac{G M}{x^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{\imath}
d) +\frac{G M m}{L^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{\imath}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informação: a barra é fino-homogênea, massa M, comprimento L, centrada na origem sobre o eixo x.
  • Informação: o campo gravitacional (aceleração gravitacional) que a barra produz em um ponto do eixo x com x>L/2 é
\vec{g}(x) = -\frac{G M}{x^{2}-(L/2)^{2}} \,\hat{\imath}.
  • Pergunta: se colocamos uma partícula de massa m num ponto com x>L/2, qual é a força que atuará sobre ela? (Opções dadas: a), b), c), d).)

Passo 2

Conceito-chave: o campo gravitacional (ou aceleração gravitacional) \vec{g} é definido como a força gravitacional por unidade de massa de prova. Em fórmula:
\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m},
onde \vec{F} é a força que age sobre uma massa m. Dessa relação segue imediatamente a fórmula prática que vamos usar na prova:
\vec{F} = m\,\vec{g}.
Explicando devagar: \vec{g} tem unidades de aceleração ( \text{m/s}^2) e nos diz “quanto acelera um quilinho de massa ali”. Multiplicando pela massa real m obtemos a força (em newtons) que age sobre essa massa.

Passo 3

Aplicamos a fórmula \vec{F}=m\vec{g} usando o \vec{g} dado no enunciado. Substituindo:
\vec{F}(x) = m\left(-\frac{G M}{x^{2}-(L/2)^{2}} \,\hat{\imath}\right).
Agora faço a multiplicação escalar m com o escalar do campo:
\vec{F}(x) = -\frac{G M m}{x^{2}-(L/2)^{2}} \,\hat{\imath}.

Passo 4

Interpretação física do sinal: o sinal negativo em \vec{F} indica que a força aponta no sentido negativo de x (ou seja, em direção à barra, para a origem), o que é esperado para a gravidade (atrai a massa para a barra). O módulo da força é \dfrac{G M m}{x^{2}-(L/2)^{2}}.

Passo 5

Comparando com as alternativas:
  • a) tem o fator m certo mas o sinal é positivo (incompatível).
  • b) está sem o fator m e com sinal positivo (errado).
  • c) tem o sinal negativo correto mas está sem o fator m (errado).
  • d) tem denominador errado e sinal positivo (errado).
Conclusão: nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente à expressão correta obtida em

Resposta

-\dfrac{G M m}{x^{2}-(L/2)^{2}} \,\hat{\imath}

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