Considerando 2 mols de um gás monoatômico ideal, submetido a um Ciclo de Carnot, operando em condições de T1
e T2
10 dm3. Calcular
e
para cada etapa e o rendimento do ciclo.
Passo 1
Dados fornecidos (vou escrever tudo com as unidades convertidas para o SI):
O enunciado pede: para cada etapa do ciclo de Carnot calcular
(calor trocado),
(trabalho realizado pelo gás) e
(variação da energia interna), e calcular o rendimento do ciclo.
Passo 2
Interpretação do ciclo e escolha do esquema de cálculo (explico por que escolhi este arranjo):
- Vou tratar o ciclo de Carnot padrão com as quatro etapas sequenciais:
- Isoterma quente (1
2) a , expansão de para . - Expansão adiabática (2
3) de até . - Isoterma fria (3
4) a , compressão de para . - Compressão adiabática (4
1) de até .
- Isoterma quente (1
- Justificativa: é o arranjo usual do ciclo de Carnot (expansão isoterma no quente entre dois volumes dados, seguida de adiabática que leva à isoterma fria, etc.). Com
e dados, posso determinar e pelas relações adiabáticas que ligam as temperaturas aos volumes — isso fecha o ciclo de forma consistente. - Vou usar a convenção: calor recebido pelo gás é
; trabalho realizado pelo gás é . Equação de 1ª lei usada: .
Passo 3
Fórmulas e constantes que vamos usar (explico cada uma):
- Constante dos gases ideais:
. - Para gás monoatômico:
Isso significa . - Isoterma (ideal, reversível): a temperatura é constante, logo
e Aqui é o logaritmo natural. - Adiabática reversível para gás ideal:
constante. Assim, para uma adiabática que liga um estado com a , - Para adiabática (Q=0), a variação da energia interna é
e pela 1ª lei (lembre: é trabalho realizado pelo gás). - Rendimento do ciclo de Carnot (teórico):
Passo 4
Determinar
e
usando as relações adiabáticas:
- Para a adiabática
(vai de para ): Como , temos . Então Calculando numericamente: logo - Para a adiabática
(vai de para ): Que dá - Observação útil (verificação):
— isso é uma propriedade do ciclo de Carnot ligada às adiabáticas; de fato e , consistente com os valores calculados.
Passo 5
Etapa 1: Isoterma quente
(expansão a
, de
para
)
- Fórmula (já dada):
. - Calcule:
- Como isoterma ideal,
.
Passo 6
Etapa 2: Adiabática
(expansão de
até
, de
para
)
- Em adiabática reversível
. - Variação da energia interna:
Calculando:
- Trabalho realizado pelo gás (pela 1ª lei, com
):
Passo 7
Etapa 3: Isoterma fria
(compressão a
, de
para
)
- Para isoterma:
. - Note que
, logo e o calor será negativo (calor rejeitado). - Calcule:
e como ,
- Como é isoterma,
.
Passo 8
Etapa 4: Adiabática
(compressão de
até
, de
para
)
- Em adiabática
. - Variação de energia interna:
- Trabalho realizado pelo gás:
(negativo: trabalho é realizado sobre o gás).
Passo 9
Energia e trabalho totais do ciclo e rendimento:
- Soma das trocas de calor no ciclo:
- Soma dos trabalhos (ou simplesmente
pois para ciclo fechado): - Verificação: somando os
das etapas dá o mesmo (5763{,}8 + 4988{,}4 -3456{,}0 -4988{,}4 =2307{,}8\ \mathrm{J}). - Rendimento:
Verificação com fórmula de Carnot: concordando com o cálculo direto.
Resposta
Etapa 1 (isoterma quente
,
,
):
Etapa 2 (adiabática
,
):
Etapa 3 (isoterma fria
,
,
):
Etapa 4 (adiabática
,
):
Resultados do ciclo:
Rendimento (ou
).
Rendimento