Considerando 2 mols de um gás monoatômico ideal, submetido a um Ciclo de Carnot, operando em condições de T1 =227^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{V} 1=5 \mathrm{dm} 3 e T2 =27^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{V} 2= 10 dm3. Calcular \mathrm{Q}, \mathrm{W} e \Delta \mathrm{E} para cada etapa e o rendimento do ciclo.

Passo 1

Dados fornecidos (vou escrever tudo com as unidades convertidas para o SI):
\begin{aligned} &\text{Quantidade de gás: } n=2\\ \text{mol} \\\ &\text{Gás monoatômico ideal (logo } C_V=\tfrac{3}{2}R,\\ \gamma=\tfrac{5}{3}\text{)} \\\ &\text{Temperaturas: } T_1=227^\circ\mathrm{C}=227+273=500\\ \mathrm{K},\\\ &\qquad\qquad\; T_2=27^\circ\mathrm{C}=27+273=300\\ \mathrm{K} \\\ &\text{Volumes dados: } V_1=5\\ \mathrm{dm}^3=5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3,\quad V_2=10\\ \mathrm{dm}^3=1\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^3. \end{aligned}ááô
O enunciado pede: para cada etapa do ciclo de Carnot calcular Q (calor trocado), W (trabalho realizado pelo gás) e \Delta E (variação da energia interna), e calcular o rendimento do ciclo.

Passo 2

Interpretação do ciclo e escolha do esquema de cálculo (explico por que escolhi este arranjo):
  • Vou tratar o ciclo de Carnot padrão com as quatro etapas sequenciais:
    1. Isoterma quente (1 \to 2) a T_1, expansão de V_1 para V_2.
    2. Expansão adiabática (2 \to 3) de T_1 até T_2.
    3. Isoterma fria (3 \to 4) a T_2, compressão de V_3 para V_4.
    4. Compressão adiabática (4 \to 1) de T_2 até T_1.
  • Justificativa: é o arranjo usual do ciclo de Carnot (expansão isoterma no quente entre dois volumes dados, seguida de adiabática que leva à isoterma fria, etc.). Com V_1 e V_2 dados, posso determinar V_3 e V_4 pelas relações adiabáticas que ligam as temperaturas aos volumes — isso fecha o ciclo de forma consistente.
  • Vou usar a convenção: calor recebido pelo gás é Q>0; trabalho realizado pelo gás é W>0. Equação de 1ª lei usada: \Delta U = Q - W.

Passo 3

Fórmulas e constantes que vamos usar (explico cada uma):
  • Constante dos gases ideais: R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Para gás monoatômico: C_V=\tfrac{3}{2}R,\qquad \gamma=\frac{C_P}{C_V}=\frac{5}{3}.Isso significa C_V=\tfrac{3}{2}R\approx 12{,}471\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Isoterma (ideal, reversível): a temperatura é constante, logo \Delta U=0 e Q_{\text{isot}}=W_{\text{isot}}=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).Aqui \ln é o logaritmo natural.
  • Adiabática reversível para gás ideal: TV^{\gamma-1}= constante. Assim, para uma adiabática que liga um estado com (T_a,V_a) a (T_b,V_b), T_a V_a^{\gamma-1} = T_b V_b^{\gamma-1}.
  • Para adiabática (Q=0), a variação da energia interna é \Delta U = n C_V (T_b - T_a),e pela 1ª lei W = Q - \Delta U = -\Delta U (lembre: W é trabalho realizado pelo gás).
  • Rendimento do ciclo de Carnot (teórico): \eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}.

Passo 4

Determinar V_3 e V_4 usando as relações adiabáticas:
  • Para a adiabática 2\to3 (vai de T_1,V_2 para T_2,V_3): T_1 V_2^{\gamma-1} = T_2 V_3^{\gamma-1} \quad\Rightarrow\quad V_3 = V_2\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}.Como \gamma-1=\tfrac{2}{3}, temos 1/(\gamma-1)=\tfrac{3}{2}=1{,}5. Então V_3 = V_2\left(\frac{500}{300}\right)^{1{,}5}=V_2\left(\frac{5}{3}\right)^{1{,}5}.Calculando numericamente: \left(\frac{5}{3}\right)^{1{,}5}\approx 2{,}15166,logo V_3 = 0{,}01\\ \mathrm{m}^3 \times 2{,}15166 = 0{,}0215166\\ \mathrm{m}^3.
  • Para a adiabática 4\to1 (vai de T_2,V_4 para T_1,V_1): T_2 V_4^{\gamma-1} = T_1 V_1^{\gamma-1} \quad\Rightarrow\quad V_4 = V_1\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}.Que dá V_4 = 0{,}005\\ \mathrm{m}^3 \times 2{,}15166 = 0{,}0107583\\ \mathrm{m}^3.
  • Observação útil (verificação): \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{V_3}{V_4} — isso é uma propriedade do ciclo de Carnot ligada às adiabáticas; de fato V_2/V_1=2 e V_3/V_4=2, consistente com os valores calculados.

Passo 5

Etapa 1: Isoterma quente 1\to2 (expansão a T_1=500\\ \mathrm{K}, de V_1 para V_2)
  • Fórmula (já dada): Q_{1\to2}=W_{1\to2}=nR T_1 \ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right).
  • Calcule: nR T_1 = 2\times 8{,}314\times 500 = 8314\\ \mathrm{J},
\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=\ln(2)=0{,}693147\ldots
Q_{1\to2}=W_{1\to2}=8314\times 0{,}693147\approx 5763{,}8\\ \mathrm{J}.
  • Como isoterma ideal, \Delta U_{1\to2}=0.

Passo 6

Etapa 2: Adiabática 2\to3 (expansão de T_1 até T_2, de V_2 para V_3)
  • Em adiabática reversível Q=0.
  • Variação da energia interna: \Delta U_{2\to3}=n C_V (T_2 - T_1).Calculando: C_V=\tfrac{3}{2}R\approx 12{,}471\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
\Delta U_{2\to3}=2\times 12{,}471\times(300-500)=24{,}942\times(-200)=-4988{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho realizado pelo gás (pela 1ª lei, com Q=0): W_{2\to3}=-\Delta U_{2\to3}=+4988{,}4\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Etapa 3: Isoterma fria 3\to4 (compressão a T_2=300\\ \mathrm{K}, de V_3 para V_4)
  • Para isoterma: Q_{3\to4}=W_{3\to4}=nR T_2 \ln\!\left(\dfrac{V_4}{V_3}\right).
  • Note que V_4<V_3, logo \ln(V_4/V_3)<0 e o calor Q_{3\to4} será negativo (calor rejeitado).
  • Calcule: nR T_2 = 2\times 8{,}314\times 300 = 4988{,}4\\ \mathrm{J},e como \dfrac{V_4}{V_3}=\dfrac{1}{2}, \ln\!\left(\frac{V_4}{V_3}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2=-0{,}693147\ldots
Q_{3\to4}=W_{3\to4}=4988{,}4\times(-0{,}693147)\approx -3456{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Como é isoterma, \Delta U_{3\to4}=0.

Passo 8

Etapa 4: Adiabática 4\to1 (compressão de T_2 até T_1, de V_4 para V_1)
  • Em adiabática Q=0.
  • Variação de energia interna: \Delta U_{4\to1}=n C_V (T_1 - T_2)=+4988{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho realizado pelo gás: W_{4\to1}=-\Delta U_{4\to1}=-4988{,}4\\ \mathrm{J}(negativo: trabalho é realizado sobre o gás).

Passo 9

Energia e trabalho totais do ciclo e rendimento:
  • Soma das trocas de calor no ciclo: Q_{\text{net}}=Q_{1\to2}+Q_{2\to3}+Q_{3\to4}+Q_{4\to1}=5763{,}8+0-3456{,}0+0=2307{,}8\\ \mathrm{J}.
  • Soma dos trabalhos (ou simplesmente W_{\text{net}}=Q_{\text{net}} pois \Delta U_{\text{ciclo}}=0 para ciclo fechado): W_{\text{net}}=2307{,}8\\ \mathrm{J}.
  • Verificação: somando os W das etapas dá o mesmo (5763{,}8 + 4988{,}4 -3456{,}0 -4988{,}4 =2307{,}8\ \mathrm{J}).
  • Rendimento: \eta=\frac{W_{\text{net}}}{Q_{1\to2}}=\frac{2307{,}8}{5763{,}8}\approx 0{,}4000\approx 40\%.Verificação com fórmula de Carnot: \eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_2}{T_1}=1-\frac{300}{500}=1-0{,}6=0{,}4=40\%,concordando com o cálculo direto.

Resposta

Etapa 1 (isoterma quente 1\to2, T_1=500\\ \mathrm{K}, V_1\to V_2):
Q_{1\to2}=+5763{,}8\\ \mathrm{J}
W_{1\to2}=+5763{,}8\\ \mathrm{J}
\Delta U_{1\to2}=0\\ \mathrm{J}
Etapa 2 (adiabática 2\to3, T_1\to T_2):
Q_{2\to3}=0\\ \mathrm{J}
W_{2\to3}=+4988{,}4\\ \mathrm{J}
\Delta U_{2\to3}=-4988{,}4\\ \mathrm{J}
Etapa 3 (isoterma fria 3\to4, T_2=300\\ \mathrm{K}, V_3\to V_4):
Q_{3\to4}=-3456{,}0\\ \mathrm{J}
W_{3\to4}=-3456{,}0\\ \mathrm{J}
\Delta U_{3\to4}=0\\ \mathrm{J}
Etapa 4 (adiabática 4\to1, T_2\to T_1):
Q_{4\to1}=0\\ \mathrm{J}
W_{4\to1}=-4988{,}4\\ \mathrm{J}
\Delta U_{4\to1}=+4988{,}4\\ \mathrm{J}
Resultados do ciclo:
W_{\text{líquido (ciclo)}}=2307{,}8\\ \mathrm{J}í
Q_{\text{absorvido (isoterma quente)}}=5763{,}8\\ \mathrm{J}
Rendimento \eta=0{,}4000 (ou 40\%).

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