(Ex 5.7) Considerando que não há transformação de massa para energia ou vice-versa, é possível escrever uma equação da continuidade para a massa.
(b) Dado um cubo de 1 cm de lado, dados experimentais mostram que as taxas nas quais a massa deixa cada uma das seis faces são
e
. Se considerarmos o cubo um elemento incremental de volume determine um valor aproximado para a taxa temporal de variação da densidade no seu centro.
(b) Dado um cubo de 1 cm de lado, dados experimentais mostram que as taxas nas quais a massa deixa cada uma das seis faces são
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cubo de 1 cm de lado, e foram medidas as taxas de saída de massa em cada uma das seis faces desse cubo. Queremos descobrir como a densidade nesse cubo está mudando com o tempo no seu centro.
Para resolver isso, vamos usar a equação da continuidade para a massa, que basicamente nos diz que a variação da massa dentro de um volume é igual à diferença entre a massa que entra e a que sai desse volume. Precisamos somar todas as taxas de saída de massa pelas faces e ver como isso afeta a densidade dentro do cubo.
Passo 2
Vamos listar as taxas de saída de massa em cada uma das seis faces do cubo, conforme os dados fornecidos:
- Face 1:
- Face 2:
- Face 3:
- Face 4:
- Face 5:
- Face 6:
Os valores positivos indicam massa saindo do cubo, e os negativos indicam massa entrando.
Passo 3
Agora, vamos somar todas essas taxas para encontrar a taxa líquida de variação da massa dentro do cubo:
Calculando passo a passo:
Portanto, a taxa líquida de variação da massa dentro do cubo é de
.
Passo 4
Para encontrar a taxa de variação da densidade (
) no centro do cubo, precisamos dividir a taxa líquida de variação da massa pelo volume do cubo.
Sabemos que o cubo tem 1 cm de lado, então o volume
é:
Agora, calculamos a taxa de variação da densidade:
Resposta
A taxa temporal de variação da densidade no centro do cubo é de aproximadamente
.