(Ex 5.7) Considerando que não há transformação de massa para energia ou vice-versa, é possível escrever uma equação da continuidade para a massa.
(b) Dado um cubo de 1 cm de lado, dados experimentais mostram que as taxas nas quais a massa deixa cada uma das seis faces são 10,25,-9,85,1,75,-2,00,-4,05 e 4,55 mg / s. Se considerarmos o cubo um elemento incremental de volume determine um valor aproximado para a taxa temporal de variação da densidade no seu centro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cubo de 1 cm de lado, e foram medidas as taxas de saída de massa em cada uma das seis faces desse cubo. Queremos descobrir como a densidade nesse cubo está mudando com o tempo no seu centro.
Para resolver isso, vamos usar a equação da continuidade para a massa, que basicamente nos diz que a variação da massa dentro de um volume é igual à diferença entre a massa que entra e a que sai desse volume. Precisamos somar todas as taxas de saída de massa pelas faces e ver como isso afeta a densidade dentro do cubo.

Passo 2

Vamos listar as taxas de saída de massa em cada uma das seis faces do cubo, conforme os dados fornecidos:
  • Face 1: 10,25 , mg/s
  • Face 2: -9,85 , mg/s
  • Face 3: 1,75 , mg/s
  • Face 4: -2,00 , mg/s
  • Face 5: -4,05 , mg/s
  • Face 6: 4,55 , mg/s
Os valores positivos indicam massa saindo do cubo, e os negativos indicam massa entrando.

Passo 3

Agora, vamos somar todas essas taxas para encontrar a taxa líquida de variação da massa dentro do cubo:
Taxa líquida = 10,25 + (-9,85) + 1,75 + (-2,00) + (-4,05) + 4,55 í
Calculando passo a passo:
10,25 - 9,85 = 0,40
0,40 + 1,75 = 2,15
2,15 - 2,00 = 0,15
0,15 - 4,05 = -3,90
-3,90 + 4,55 = 0,65 , mg/s
Portanto, a taxa líquida de variação da massa dentro do cubo é de 0,65 , mg/s.

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação da densidade ( partial rhopartial t) no centro do cubo, precisamos dividir a taxa líquida de variação da massa pelo volume do cubo.
Sabemos que o cubo tem 1 cm de lado, então o volume V é:
V = 1 , cm times 1 , cm times 1 , cm = 1 , cm^3
Agora, calculamos a taxa de variação da densidade:
partial rhopartial t = Taxa líquida de variação da massaV = 0,65 , mg/s1 , cm^3 = 0,65 , mg/(cm^3·s) íçã

Resposta

A taxa temporal de variação da densidade no centro do cubo é de aproximadamente 0,65 , mg/(cm^3·s).

Exercícios relacionados