(Ex 5.12) Duas placas condutoras idênticas, cada uma tendo área
, estão posicionadas em
. A região entre as placas está preenchida com um material que possui uma condutividade dependente de
, onde
é uma constante. Uma tensão
é aplicada à placa em
. A placa em z
está no potencial zero. Calcule, considerando os parâmetros dados:
(a) a resistência do material;
(a) a resistência do material;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a resistência de um material que está entre duas placas condutoras. A matéria envolvida aqui é Eletricidade, mais especificamente sobre condutividade elétrica e resistência. Para resolver, vamos precisar entender como a condutividade varia com a posição $ z $ e usar isso para encontrar a resistência total do material entre as placas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica $ R $ de um material é dada pela fórmula:
onde:
- $ L $ é o comprimento do material,
- $ \sigma $ é a condutividade,
- $ A $ é a área da seção transversal.
No nosso caso, a condutividade $ \sigma(z) $ não é constante, mas depende de $ z $:
Isso significa que a resistência não será simplesmente $ \frac{d}{\sigma A} $, precisamos integrar para considerar a variação da condutividade ao longo de $ z $.
Passo 3
Vamos considerar que a resistência total $ R $ é a soma das resistências de infinitas camadas finas do material entre $ z = 0 $ e $ z = d $. Uma camada com espessura $ dz $ tem área $ A $ e condutividade $ \sigma(z) $.
A resistência $ dR $ dessa camada é:
Para encontrar a resistência total, integramos $ dR $ de $ z = 0 $ até $ z = d $:
Passo 4
Substituindo $ \sigma(z) $ na integral:
Agora, vamos calcular a integral $ \int e^{z/d} dz $.
A antiderivada de $ e^{z/d} $ é $ d e^{z/d} $, então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão para $ R $:
Resposta
A resistência do material é: