(Ex 5.12) Duas placas condutoras idênticas, cada uma tendo área A, estão posicionadas em z=0 ez=d. A região entre as placas está preenchida com um material que possui uma condutividade dependente de z, sigma(z)=sigma0 e^-z / d, onde sigma0 é uma constante. Uma tensão V0 é aplicada à placa em z=d. A placa em z =0 está no potencial zero. Calcule, considerando os parâmetros dados:
(a) a resistência do material;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a resistência de um material que está entre duas placas condutoras. A matéria envolvida aqui é Eletricidade, mais especificamente sobre condutividade elétrica e resistência. Para resolver, vamos precisar entender como a condutividade varia com a posição $ z $ e usar isso para encontrar a resistência total do material entre as placas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica $ R $ de um material é dada pela fórmula:
R
onde:
  • $ L $ é o comprimento do material,
  • $ \sigma $ é a condutividade,
  • $ A $ é a área da seção transversal.
No nosso caso, a condutividade $ \sigma(z) $ não é constante, mas depende de $ z $:
R = Lsigma A
Isso significa que a resistência não será simplesmente $ \frac{d}{\sigma A} $, precisamos integrar para considerar a variação da condutividade ao longo de $ z $.

Passo 3

Vamos considerar que a resistência total $ R $ é a soma das resistências de infinitas camadas finas do material entre $ z = 0 $ e $ z = d $. Uma camada com espessura $ dz $ tem área $ A $ e condutividade $ \sigma(z) $.
A resistência $ dR $ dessa camada é:
R
Para encontrar a resistência total, integramos $ dR $ de $ z = 0 $ até $ z = d $:
z = 0

Passo 4

Substituindo $ \sigma(z) $ na integral:
sigma(z)
Agora, vamos calcular a integral $ \int e^{z/d} dz $.
A antiderivada de $ e^{z/d} $ é $ d e^{z/d} $, então:
R = integral0^d dzsigma0 e^-z/d A = 1sigma0 A integral0^d e^z/d dz

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para $ R $:
R

Resposta

A resistência do material é:
R = d (e - 1)sigma0 A

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