Considere uma barra de um material de 60 cm de comprimento e de 6 cm de diâmetro que está inicialmente a uma temperatura unifome de 80^circ C. Esse material é colocado em contato com um fluido com temperatura de 25^circ C e coeficiente de transferência de calor igual h=40 W / m^2 K. Uma das extremidades da barra está isolada e a outra está em equilibrio térmico com o fluido. Considere 0 material com as seguintes propriedades: k=16,3 W / m K, alpha=0,444.10^-5 m^2 / s. Desprezando o gradiente de temperatura na direção radial. a) Determine a distribuição de temperatura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transferência de calor juntos! A gente tem uma barra de metal com 60 cm de comprimento e 6 cm de diâmetro, inicialmente a 80°C. Essa barra está em contato com um fluido mais frio, a 25°C, e tem um coeficiente de transferência de calor de 40 W/m²K. Uma das extremidades está isolada, enquanto a outra troca calor com o fluido. A gente quer descobrir como a temperatura varia ao longo da barra. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor na matéria e as propriedades térmicas do material.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma extremidade isolada e a outra em equilíbrio térmico com o fluido. A extremidade isolada não troca calor com o ambiente, ou seja, não há fluxo de calor passando por ela. Já a extremidade em contato com o fluido tem um fluxo de calor devido à diferença de temperatura entre a barra e o fluido.

Passo 3

Vamos usar a equação da condução de calor no estado estacionário, já que o problema não menciona variação ao longo do tempo. A equação básica é:
d^2 Tdx^2 = 0
Isso significa que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero, implicando que a temperatura varia linearmente ao longo da barra no estado estacionário.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno. Na extremidade isolada (digamos, em $ x = L $), a derivada da temperatura em relação a $ x $ é zero:
x = L
Na extremidade em contato com o fluido (em $ x = 0 $), temos a condição de troca de calor por convecção:
x
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica,
  • $ h $ é o coeficiente de transferência de calor,
  • $ T_{\infty} $ é a temperatura do fluido.

Passo 5

Como a equação $ \frac{d^2 T}{dx^2} = 0 $ indica uma variação linear da temperatura, podemos integrar para encontrar a expressão da temperatura:
d^2 Tdx^2 = 0
dTdx = C1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 6

Aplicando a condição de isolamento na extremidade $ x = L $:
x = L
Então, $ C_1 = 0 $, o que simplifica a expressão da temperatura para:
dTdx|x=L = C1 = 0
Isso significa que a temperatura é constante ao longo da barra no estado estacionário.

Passo 7

Aplicando a condição de convecção na extremidade $ x = 0 $:
x = 0
Como $ h $ é diferente de zero, temos:
0 = h (T(0) - Tinfty)

Passo 8

Já que a temperatura é constante ao longo da barra e igual a 25°C na extremidade em contato com o fluido, concluímos que toda a barra atinge a temperatura do fluido no estado estacionário.

Resposta

A distribuição de temperatura ao longo da barra é uniforme e igual a 25^circ C.

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