(Ex 5.10) Uma arruela de latão tem diâmetro interno de 2 cm , diâmetro externo de 5 cm e espessura igual a
. Sua condutividade é
. A arruela é cortada ao meio, ao longo do diâmetro, e uma tensão é aplicada entre as duas faces retangulares de uma das partes cortadas. O campo elétrico resultante, no interior da arruela cortada ao meio, é
, em coordenadas cilíndricas, onde o eixo z corresponde ao eixo da arruela.
(a) Qual diferença de potencial existe entre as duas faces retangulares?
(a) Qual diferença de potencial existe entre as duas faces retangulares?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma arruela de latão com alguns diâmetros e espessura específicos, além da condutividade elétrica dela. A arruela foi cortada ao meio e aplicaram uma tensão entre as duas faces retangulares dessa parte. O objetivo é encontrar qual é a diferença de potencial (ou tensão) entre essas duas faces. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente como relacionar o campo elétrico à diferença de potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o enunciado nos dá:
- Diâmetro interno: 2 cm
- Diâmetro externo: 5 cm
- Espessura: 0,5 cm
- Condutividade elétrica (σ):
- Campo elétrico (E):
Aqui,
é a coordenada radial em coordenadas cilíndricas, e
é o vetor unitário na direção azimutal.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar o campo elétrico à diferença de potencial. A diferença de potencial $ \Delta V $ entre dois pontos é dada pela integral do campo elétrico ao longo de um caminho que liga esses pontos:
Onde:
- $ \mathbf{E} $ é o campo elétrico.
- $ d\mathbf{l} $ é um elemento infinitesimal do caminho de integração.
- $ \Delta V $ é a diferença de potencial entre os pontos A e B.
Passo 4
Vamos escolher um caminho apropriado para a integração. Como o campo elétrico está na direção
, é conveniente integrar ao longo da direção azimutal, ou seja, ao longo do ângulo
. Assim, podemos expressar o elemento de caminho $ d\mathbf{l} $ na direção
como:
Passo 5
Substituindo $ \mathbf{E} $ e $ d\mathbf{l} $ na expressão da diferença de potencial, temos:
Aqui,
cancela e
.
Passo 6
Agora, basta calcular a integral:
Como a diferença de potencial é uma magnitude, podemos considerar o valor absoluto:
Resposta
A diferença de potencial entre as duas faces retangulares é de aproximadamente 1,57 V.