(Ex 5.10) Uma arruela de latão tem diâmetro interno de 2 cm , diâmetro externo de 5 cm e espessura igual a 0,5 cm. Sua condutividade é sigma=1,5 times 10^7 S / m. A arruela é cortada ao meio, ao longo do diâmetro, e uma tensão é aplicada entre as duas faces retangulares de uma das partes cortadas. O campo elétrico resultante, no interior da arruela cortada ao meio, é E=(0,5 / rho) avarphi V / m, em coordenadas cilíndricas, onde o eixo z corresponde ao eixo da arruela.
(a) Qual diferença de potencial existe entre as duas faces retangulares?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma arruela de latão com alguns diâmetros e espessura específicos, além da condutividade elétrica dela. A arruela foi cortada ao meio e aplicaram uma tensão entre as duas faces retangulares dessa parte. O objetivo é encontrar qual é a diferença de potencial (ou tensão) entre essas duas faces. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente como relacionar o campo elétrico à diferença de potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o enunciado nos dá:
  • Diâmetro interno: 2 cm
  • Diâmetro externo: 5 cm
  • Espessura: 0,5 cm
  • Condutividade elétrica (σ): 1,5 times 10^7 , S/m
  • Campo elétrico (E): E = 0,5rho avarphi , V/m
Aqui, rho é a coordenada radial em coordenadas cilíndricas, e avarphi é o vetor unitário na direção azimutal.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar o campo elétrico à diferença de potencial. A diferença de potencial $ \Delta V $ entre dois pontos é dada pela integral do campo elétrico ao longo de um caminho que liga esses pontos:
De
Onde:
  • $ \mathbf{E} $ é o campo elétrico.
  • $ d\mathbf{l} $ é um elemento infinitesimal do caminho de integração.
  • $ \Delta V $ é a diferença de potencial entre os pontos A e B.

Passo 4

Vamos escolher um caminho apropriado para a integração. Como o campo elétrico está na direção avarphi, é conveniente integrar ao longo da direção azimutal, ou seja, ao longo do ângulo varphi. Assim, podemos expressar o elemento de caminho $ d\mathbf{l} $ na direção dl como:
varphi

Passo 5

Substituindo $ \mathbf{E} $ e $ d\mathbf{l} $ na expressão da diferença de potencial, temos:
E
Aqui, dl cancela e De.

Passo 6

Agora, basta calcular a integral:
De
Como a diferença de potencial é uma magnitude, podemos considerar o valor absoluto:
De

Resposta

A diferença de potencial entre as duas faces retangulares é de aproximadamente 1,57 V.

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