1. Considerando a notação da calculadora financeira HP12C, o valor futuro (FV) de uma quantia (valor presente, P V ) após n períodos sob a taxa de juros i é dado por F V=P V(1+i)^{n}, Calcule, com uma casa decimal, o número de períodos n tal que o valor futuro F V=1000 é atingido, dados
(a) P V=10 e i=100 \%

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais dados nos foram dados. O enunciado diz que o valor futuro F V de um capital P V após n períodos com taxa de juros i é dado por
F V = P V (1+i)^{n}.
Os dados são:
  • F V = 1000,
  • P V = 10,
  • i = 100\% (ou seja, i=1 em taxa decimal).
A pergunta: calcular o número de períodos n necessário para que F V=1000 com os dados acima. O resultado deve ser apresentado com uma casa decimal.

Passo 2

Entendendo a fórmula e a estratégia para encontrar n.
A fórmula F V = P V (1+i)^{n} significa que o montante cresce multiplicando o presente por (1+i) a cada período, repetido n vezes.
Para achar n quando conhecemos F V, P V e i, precisamos “desfazer” a potência (1+i)^{n}. A forma padrão é aplicar logaritmo (qualquer base serve) dos dois lados da equação; usando propriedades de logaritmos, a potência vira um produto, permitindo isolar n.
Propriedade importante de logaritmos que usamos: para a>0 e b>0,
\log(a^{b}) = b\,\log(a).
Isso é o que permite tirar o expoente.

Passo 3

Isolando n na equação.
Começamos com
F V = P V (1+i)^{n}.
Dividindo ambos os lados por P V,
\frac{F V}{P V} = (1+i)^{n}.
Agora aplicamos logaritmo (aqui uso logaritmo natural \ln, mas poderia usar \log_{10}; o resultado é o mesmo):
\ln\!\left(\frac{F V}{P V}\right) = \ln\!\big((1+i)^{n}\big).
Usando a propriedade do expoente:
\ln\!\left(\frac{F V}{P V}\right) = n \cdot \ln(1+i).
Logo, isolando n,
n = \frac{\ln\!\left(\dfrac{F V}{P V}\right)}{\ln(1+i)}.

Passo 4

Substituindo os valores fornecidos.
Com F V=1000 e P V=10 temos
\frac{F V}{P V} = \frac{1000}{10} = 100.
Com i=100\% temos 1+i=2. Substituindo em n:
n = \frac{\ln(100)}{\ln(2)}.

Passo 5

Simplificação usando propriedades dos logaritmos e estimativa inicial.
Como 100=10^{2}, podemos escrever
\ln(100) = \ln(10^{2}) = 2\ln(10).
Portanto
n = \frac{2\ln(10)}{\ln(2)}.
Antes de calcular com mais precisão, uma estimativa rápida sem calculadora ajuda a entender o resultado: 2^{6}=64 e 2^{7}=128, e 100 está entre 64 e 128. Assim n deve estar entre 6 e 7.

Passo 6

Cálculo numérico e arredondamento.
Usando valores numéricos para logaritmos:
\ln(10)\approx 2,302585093,\qquad \ln(2)\approx 0,693147180.
Substituindo em
n = \frac{2\ln(10)}{\ln(2)}
obtemos
n \approx \frac{2\cdot 2,302585093}{0,693147180} \approx \frac{4,605170186}{0,693147180} \approx 6,64385619.
O enunciado pede uma casa decimal, então devemos arredondar 6,64385619 para uma casa decimal: isso dá 6,6.

Resposta

n=6,6\\ \text{períodos}í

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