1. Considerando a notação da calculadora financeira HP12C, o valor futuro (FV) de uma quantia (valor presente, P V ) após n períodos sob a taxa de juros i é dado por F V=P V(1+i)^{n}, Calcule, com uma casa decimal, o número de períodos n tal que o valor futuro F V=1000 é atingido, dados
(f) P V=20 e i=10 \%

Passo 1

O enunciado dá a fórmula da HP12C para valor futuro:
F V = P V (1+i)^{n}
Os dados fornecidos são:
  • F V = 1000
  • P V = 20
  • i = 10\% = 0{,}10
A pergunta é: calcular o número de períodos n (com uma casa decimal) que satisfaz a igualdade acima.

Passo 2

Vamos isolar n na fórmula. Começamos dividindo ambos os lados por P V:
\frac{F V}{P V} = (1+i)^{n}.
Agora aplicamos logaritmo nos dois lados para “trazer o expoente para frente” (propriedade dos logaritmos: \log(a^{b})=b\log(a)). Assim:
\log\!\left(\frac{F V}{P V}\right)=\log\!\big((1+i)^{n}\big)=n\cdot\log(1+i).
Isolando n:
n=\frac{\log\!\left(\dfrac{F V}{P V}\right)}{\log(1+i)}.

Passo 3

Breve aula sobre logaritmos (pra ficar seguro): o logaritmo \log(x) é a operação inversa da exponenciação. A propriedade que usamos é \log(a^{b})=b\log(a). Pode-se usar qualquer base de logaritmo (base 10 ou natural); se usar base e (ln) ou base 10 ( \log), o quociente acima é o mesmo por causa da mudança de base:
\frac{\ln(A)}{\ln(B)}=\frac{\log_{10}(A)}{\log_{10}(B)}.
Então escolha a que sua calculadora permitir.

Passo 4

Substituímos os números. Primeiro o quociente F V/P V:
\frac{F V}{P V}=\frac{1000}{20}=50.
E 1+i=1{,}10. Logo
n=\frac{\log(50)}{\log(1{,}10)}.

Passo 5

Agora avaliamos os logaritmos (valores aproximados usuais):
\log(50)\approx 1{,}69897,\qquad \log(1{,}10)\approx 0{,}041392685.
Dividindo:
n\approx\frac{1{,}69897}{0{,}041392685}\approx 41{,}045\ldots

Passo 6

Arredondando para uma casa decimal (regra: olhar a segunda casa decimal e arredondar a primeira):
n\approx 41{,}0.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): usando ln,
(1{,}1)^{41{,}045}=e^{41{,}045\cdot\ln(1{,}1)}\approx e^{3{,}912023}\approx 50,
e 20\cdot 50 = 1000. Ou seja, faz sentido numérico.

Passo 8

Respirei fundo junto com você: o procedimento é sempre o mesmo em problemas desse tipo—isolar o expoente e usar logaritmo. Na prova, peça a sua calculadora (ou a tecla ln/log) e siga esses passos.

Resposta

n=41{,}0

Exercícios relacionados