1. Considerando a notação da calculadora financeira HP12C, o valor futuro (FV) de uma quantia (valor presente, P V ) após n períodos sob a taxa de juros i é dado por F V=P V(1+i)^{n}, Calcule, com uma casa decimal, o número de períodos n tal que o valor futuro F V=1000 é atingido, dados
(e) P V=10 e i=20 \%

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
  • Pedem o número de períodos n tal que o valor futuro F V=1000 seja atingido.
  • Dados fornecidos:
    • P V=10
    • i=20\% (ou seja, i=0,20)
    • F V=1000

Passo 2

Fórmula básica e significado das variáveis:\n
A relação financeira entre valor presente, taxa e futuro é
F V = P V (1+i)^{n}.
Nesta fórmula:
  • F V é o valor futuro (quantia final);
  • P V é o valor presente (quantia inicial);
  • i é a taxa de juros por período (na mesma unidade de tempo de n);
  • n é o número de períodos (o que queremos achar).

Passo 3

Isolar n usando logaritmos — ideia e propriedade usada:\n
Queremos tirar o expoente n. Para isso dividimos por P V e aplicamos logaritmo. Usaremos a propriedade fundamental dos logaritmos:
\ln(a^{b}) = b\,\ln(a).
Partindo de
F V = P V (1+i)^{n},
temos
\frac{F V}{P V} = (1+i)^{n}.
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\!\left(\frac{F V}{P V}\right) = n\,\ln(1+i).
Portanto
n = \frac{\ln\!\left(\dfrac{F V}{P V}\right)}{\ln(1+i)}.
Observação: pode-se usar qualquer base de logaritmo (base 10 ou natural); o quociente das duas elimina a base.

Passo 4

Substituir os valores numéricos conhecidos:\n
Calcular a razão F V/P V:
\frac{F V}{P V}=\frac{1000}{10}=100.
Calcular 1+i:
1+i=1+0,20=1,2.
Logo
n=\frac{\ln(100)}{\ln(1,2)}.

Passo 5

Avaliar os logaritmos (com explicação do que foi feito):\n
Usa-se que \ln(100)=\ln(10^{2})=2\ln(10). Numericamente:
\ln(100)=4,605170185988091.
E
\ln(1,2)=0,182321556793955.
Esses valores vêm de tabelas ou calculadora científica; a ideia é que \ln transforma a potência em produto, permitindo isolar n.

Passo 6

Calcular n e arredondar à casa decimal pedida:\n
Dividindo:
n=\frac{4,605170185988091}{0,182321556793955}\approx 25,2585\ldots
Arredondando para uma casa decimal (regra usual: se a segunda casa decimal \geq 5 sobe a primeira):
n \approx 25,3.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem mental:\n
Isso significa que, com juros de 20\% por período, uma quantia de 10 precisa de cerca de 25,3 períodos para crescer até 1000. Uma checagem rápida é ver que (1,2)^{25,2585}\approx 100, confirmando coerência.

Resposta

n=25,3\\ \text{períodos}í

Exercícios relacionados