1. Faça numa mesma figura os gráficos de f(x)=\log _{2}(x) e g(x)=\log _{4}(x), além da reta y=x-1 (sugestão: use os pares ordenados do item 4 e as propriedades da função inversa).

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe, numa mesma figura, os gráficos de f(x)=\log_{2}(x), de g(x)=\log_{4}(x) e da reta y=x-1. Informações úteis extraídas do enunciado:
  • As funções a desenhar são f(x)=\log_{2}(x) e g(x)=\log_{4}(x).
  • Também desenhar a reta y=x-1.
  • Foi sugerido usar pares ordenados do item 4 e propriedades da função inversa (ou seja: usar pontos da exponencial e refletir).

Passo 2

Explicando o básico: o que é \log_b(x) e como tirar pontos a partir da função inversa.
  • Definição: \log_b(x) é a função inversa de b^{x}. Isso significa que, para todo x>0 e todo y\in\mathbb{R},
y=\log_b(x)\quad\Longleftrightarrow\quad x=b^{y}.
  • Interpretação prática: se um ponto (a,b) pertence ao gráfico de y=b^{x}, então o ponto (b,a) pertence ao gráfico de y=\log_b(x). Ou seja: para obter pontos da log, pega-se pontos conhecidos da exponencial e inverte-se as coordenadas (reflexão em relação à reta y=x).
  • Domínio e assimptota: a função \log_b(x) tem domínio (0,\infty) e tem assimptota vertical em x=0. Passa sempre por (1,0) porque \log_b(1)=0. Para x>1 a função é crescente (quando b>1), para 0<x<1 os valores são negativos.

Passo 3

Escolher pontos fáceis a partir das exponenciais 2^{x} e 4^{x} e refletir para obter pontos das logaritmos.
  • Para 2^{x} são pontos simples:
    • (-1,\tfrac12) porque 2^{-1}=\tfrac12.
    • (0,1) porque 2^{0}=1.
    • (1,2) porque 2^{1}=2.
    • (2,4) porque 2^{2}=4.
      Refletindo cada par (X,Y)\mapsto(Y,X) obtemos pontos para f(x)=\log_{2}(x):
    • \big(\tfrac12,-1\big), (1,0), (2,1), (4,2).
  • Para 4^{x} são pontos simples:
    • (-1,\tfrac14) porque 4^{-1}=\tfrac14.
    • (0,1) porque 4^{0}=1.
    • (1,4) porque 4^{1}=4.
    • (2,16) porque 4^{2}=16.
      Refletindo obtemos pontos para g(x)=\log_{4}(x):
    • \big(\tfrac14,-1\big), (1,0), (4,1), (16,2).

Passo 4

Mostrar a relação entre \log_{4} e \log_{2} — isso ajuda no esboço e na comparação.
  • Usando mudança de base:
\log_{4}(x)=\frac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(4)}.
  • Como \log_{2}(4)=2, segue que
\log_{4}(x)=\tfrac12\,\log_{2}(x).
  • Interpretação: o gráfico de g é obtido a partir do gráfico de f comprimindo (multiplicando) as ordenadas por \tfrac12. Para cada x, g(x) vale metade de f(x). Em particular ambos passam por (1,0).

Passo 5

Encontrar interseções importantes com a reta y=x-1. Isso dá pontos de referência para o esboço.
  • Para f(x)=\log_{2}(x), resolver
x-1=\log_{2}(x).
Fazendo a substituição t=\log_{2}(x) (logo x=2^{t}):
2^{t}-1=t.
Testando valores inteiros de t: t=0 2^{0}-1-0=0 (ou seja x=1 é solução) e t=1 2^{1}-1-1=0 (ou seja x=2 é solução). Portanto f e a reta se intersectam em (1,0) e em (2,1).
  • Para g(x)=\log_{4}(x), resolver
x-1=\log_{4}(x)=\tfrac12\log_{2}(x).
Com t=\log_{2}(x) (logo x=2^{t}) obtemos
2^{t}-1=\tfrac{t}{2}\quad\Longrightarrow\quad 2^{t+1}-2=t.
Testando t=0 x=1 e t=-1 x=\tfrac12. Logo as interseções são (1,0) e \big(\tfrac12,-\tfrac12\big).
  • Observação geométrica útil: ambas as funções cruzam a reta y=x-1 em dois pontos porque a função x-1-\log_b(x) tem um mínimo negativo entre 0 e \infty (quando b>1), criando duas raízes em cada caso — e as raízes encontradas por inspeção/transformação acima são as corretas.

Passo 6

Comportamento geral e comparação dos dois logaritmos (isso ajuda a traçar as curvas corretamente).
  • Ambos têm assimptota vertical em x=0 e passam por (1,0).
  • Para x>1: \log_{4}(x)=\tfrac12\log_{2}(x) implica \log_{4}(x)<\log_{2}(x) (porque multiplicar por \tfrac12 reduz o valor). Assim, para x>1 o gráfico de g fica abaixo do gráfico de f.
  • Para 0<x<1: ambos são negativos, mas \log_{4}(x)=\tfrac12\log_{2}(x) implica \log_{4}(x) é menos negativo (valor absoluto menor), então para 0<x<1 o gráfico de g fica acima de f. Ex.: em x=\tfrac12, \log_{2}(\tfrac12)=-1 e \log_{4}(\tfrac12)=-\tfrac12.
  • Crescimento: ambas são crescentes (porque bases 2 e 4 > 1). A inclinação local é maior em f do que em g.

Passo 7

Instruções passo a passo para desenhar a figura à mão (ou em papel milimetrado):
  1. Trace os eixos com x>0 bem destacado e marque x-valores: \tfrac14,\tfrac12,1,2,4,16 (ou uma escala que permita ver até 4 ou 16, conforme o papel).
  2. Desenhe a reta y=x-1: é reta de coeficiente angular 1 que corta o eixo y em -1. Marque alguns pontos da reta: (0,-1),(1,0),(2,1).
  3. Plote os pontos de f(x)=\log_{2}(x) obtidos no Passo 3: \big(\tfrac12,-1\big),(1,0),(2,1),(4,2). Ligue esses pontos suavemente formando uma curva crescente que diverge para -\infty quando x\to0^{+} e cresce lentamente para +\infty quando x\to\infty.
  4. Plote os pontos de g(x)=\log_{4}(x): \big(\tfrac14,-1\big),(1,0),(4,1),(16,2). Ligue suavemente, lembrando que para x>1 essa curva está abaixo da de \log_{2}, e para 0<x<1 está acima.
  5. Marque claramente os pontos de interseção com a reta:
    • f com a reta em (1,0) e (2,1).
    • g com a reta em (1,0) e \big(\tfrac12,-\tfrac12\big).
  6. Indique a assimptota vertical x=0 (linha tracejada) e anote as funções próximas às curvas para identificação.

Passo 8

Dicas finais para deixar o esboço claro e com aspecto de “gráfico de prova”:
  • Use uma escala mais comprimida no eixo y se quiser mostrar pontos até y=2 sem precisar ir muito para a direita (porque g atinge y=2 em x=16 enquanto f atinge y=2 em x=4).
  • Ao ligar os pontos, lembre-se que as curvas são suaves (sem cantos) e monotonamente crescentes.
  • Escreva as equações junto a cada curva: “ f(x)=\log_{2}(x)” e “ g(x)=\log_{4}(x)”, e identifique a reta “ y=x-1”.

Resposta

f(x)=\log_{2}(x): pontos a plotar \big(\tfrac12,-1\big),(1,0),(2,1),(4,2)\n
g(x)=\log_{4}(x): pontos a plotar \big(\tfrac14,-1\big),(1,0),(4,1),(16,2)\n
Reta: y=x-1 (pontos exemplares (0,-1),(1,0),(2,1))\n
Interseções: f\cap(y=x-1)=\{(1,0),(2,1)\}, \quad g\cap(y=x-1)=\{(1,0),(\tfrac12,-\tfrac12)\}

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