- Faça numa mesma figura os gráficos de
e
, além da reta
(sugestão: use os pares ordenados do item 4 e as propriedades da função inversa).
Passo 1
O enunciado pede que eu desenhe, numa mesma figura, os gráficos de
, de
e da reta
. Informações úteis extraídas do enunciado:
- As funções a desenhar são
e . - Também desenhar a reta
. - Foi sugerido usar pares ordenados do item 4 e propriedades da função inversa (ou seja: usar pontos da exponencial e refletir).
Passo 2
Explicando o básico: o que é
e como tirar pontos a partir da função inversa.
- Definição:
é a função inversa de . Isso significa que, para todo e todo ,
- Interpretação prática: se um ponto
pertence ao gráfico de , então o ponto pertence ao gráfico de . Ou seja: para obter pontos da log, pega-se pontos conhecidos da exponencial e inverte-se as coordenadas (reflexão em relação à reta ). - Domínio e assimptota: a função
tem domínio e tem assimptota vertical em . Passa sempre por porque . Para a função é crescente (quando ), para os valores são negativos.
Passo 3
Escolher pontos fáceis a partir das exponenciais
e
e refletir para obter pontos das logaritmos.
- Para
são pontos simples: -
porque . -
porque . -
porque . -
porque .
Refletindo cada parobtemos pontos para : -
, , , .
-
- Para
são pontos simples: -
porque . -
porque . -
porque . -
porque .
Refletindo obtemos pontos para: -
, , , .
-
Passo 4
Mostrar a relação entre
e
— isso ajuda no esboço e na comparação.
- Usando mudança de base:
- Como
, segue que
- Interpretação: o gráfico de
é obtido a partir do gráfico de comprimindo (multiplicando) as ordenadas por . Para cada , vale metade de . Em particular ambos passam por .
Passo 5
Encontrar interseções importantes com a reta
. Isso dá pontos de referência para o esboço.
- Para
, resolver
Fazendo a substituição
(logo
):
Testando valores inteiros de
:
dá
(ou seja
é solução) e
dá
(ou seja
é solução). Portanto
e a reta se intersectam em
e em
.
- Para
, resolver
Com
(logo
) obtemos
Testando
dá
e
dá
. Logo as interseções são
e
.
- Observação geométrica útil: ambas as funções cruzam a reta
em dois pontos porque a função tem um mínimo negativo entre e (quando ), criando duas raízes em cada caso — e as raízes encontradas por inspeção/transformação acima são as corretas.
Passo 6
Comportamento geral e comparação dos dois logaritmos (isso ajuda a traçar as curvas corretamente).
- Ambos têm assimptota vertical em
e passam por . - Para
: implica (porque multiplicar por reduz o valor). Assim, para o gráfico de fica abaixo do gráfico de . - Para
: ambos são negativos, mas implica é menos negativo (valor absoluto menor), então para o gráfico de fica acima de . Ex.: em , e . - Crescimento: ambas são crescentes (porque bases
e > 1). A inclinação local é maior em do que em .
Passo 7
Instruções passo a passo para desenhar a figura à mão (ou em papel milimetrado):
- Trace os eixos com
bem destacado e marque -valores: (ou uma escala que permita ver até 4 ou 16, conforme o papel). - Desenhe a reta
: é reta de coeficiente angular que corta o eixo em . Marque alguns pontos da reta: . - Plote os pontos de
obtidos no Passo 3: . Ligue esses pontos suavemente formando uma curva crescente que diverge para quando e cresce lentamente para quando . - Plote os pontos de
: . Ligue suavemente, lembrando que para essa curva está abaixo da de , e para está acima. - Marque claramente os pontos de interseção com a reta:
-
com a reta em e . -
com a reta em e .
-
- Indique a assimptota vertical
(linha tracejada) e anote as funções próximas às curvas para identificação.
Passo 8
Dicas finais para deixar o esboço claro e com aspecto de “gráfico de prova”:
- Use uma escala mais comprimida no eixo
se quiser mostrar pontos até sem precisar ir muito para a direita (porque atinge em enquanto atinge em ). - Ao ligar os pontos, lembre-se que as curvas são suaves (sem cantos) e monotonamente crescentes.
- Escreva as equações junto a cada curva: “
” e “ ”, e identifique a reta “ ”.
Resposta
Reta:
Interseções: