Considerando o número complexo w=cos (z^6) em que z=1+3 i2+i assinale a alternativa correta:
a) |w|=0 e arg (w)=0
b) R e(w)=e^8+e^-82 e arg (w)=pi4
c) |w| <= 1
d) Im(w)=0 e arg (w)=0
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um número complexo , onde . O conteúdo principal aqui envolve números complexos, operações com eles e funções trigonométricas aplicadas a números complexos. Para resolver isso, vamos precisar calcular , elevar à sexta potência, aplicar o cosseno nesse resultado e então analisar as propriedades de para ver qual alternativa está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular z = 1 + 3i2 + i times 2 - i2 - i = (1 + 3i)(2 - i)(2 + i)(2 - i) . Para dividir números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
(1)(2) + (1)(-i) + (3i)(2) + (3i)(-i) = 2 - i + 6i - 3i^2
Calculando o numerador:
2 - i + 6i - 3(-1) = 2 + 5i + 3 = 5 + 5i
Como (2)^2 - (i)^2 = 4 - (-1) = 5 , então:
Calculando o denominador:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular |z| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 . Sabemos que arg(z) = tan^-1(11) = pi4 . Podemos expressar z^6 = (raiz2)^6 , e^i6 cdot pi4 = 2^3 , e^i3pi2 = 8 , e^i3pi2 na forma polar para facilitar a potenciação. Primeiro, calculamos o módulo e o argumento de z^6 = 8 ( cos(3pi2) + i sin(3pi2) ) = 8 (0 - i) = -8i :
Então, . Elevando à sexta potência:

Passo 4

Agora, vamos calcular cos(a + bi) = cos(a)cosh(b) - isin(a)sinh(b) . Para números complexos, usamos a fórmula do cosseno:
cos(-8i) = cos(0)cosh(8) - isin(0)sinh(8) = cosh(8)
No nosso caso, e , então:
Porque e .

Passo 5

Então, . O cosseno hiperbólico é sempre um número real positivo e satisfaz . Além disso, como é um número real positivo, seu argumento é 0, ou seja, .

Passo 6

Vamos analisar as alternativas:
a) e
  • Errado, porque .
b) e
  • Parcialmente correto, já que , mas o argumento é 0, não .
c)
  • Errado, porque .
d) e
  • Correto, já que é real e positivo.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
  • Errado, já que a alternativa d) está correta.

Resposta

A alternativa d) e está correta.

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