Considerando o número complexo
em que
assinale a alternativa correta:
a)
e
b)
e
c)
d)
e
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um número complexo
, onde
. O conteúdo principal aqui envolve números complexos, operações com eles e funções trigonométricas aplicadas a números complexos. Para resolver isso, vamos precisar calcular
, elevar
à sexta potência, aplicar o cosseno nesse resultado e então analisar as propriedades de
para ver qual alternativa está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Para dividir números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Calculando o numerador:
Como
, então:
Calculando o denominador:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
. Podemos expressar
na forma polar para facilitar a potenciação. Primeiro, calculamos o módulo e o argumento de
:
Então,
. Elevando à sexta potência:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Para números complexos, usamos a fórmula do cosseno:
No nosso caso,
e
, então:
Porque
e
.
Passo 5
Então,
. O cosseno hiperbólico é sempre um número real positivo e satisfaz
. Além disso, como
é um número real positivo, seu argumento é 0, ou seja,
.
Passo 6
Vamos analisar as alternativas:
a)
e
- Errado, porque
.
b)
e
- Parcialmente correto, já que
, mas o argumento é 0, não .
c)
- Errado, porque
.
d)
e
- Correto, já que
é real e positivo.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
- Errado, já que a alternativa d) está correta.
Resposta
A alternativa d)
e
está correta.