Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então calcule a área da região.
(i) y=x^3-6 x^2+8 x, y=0( eixo x)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região limitada por y = x³ – 6x² + 8x e pelo eixo x (y = 0) e, em seguida, calcular sua área por integração. Vamos usar integração em x e um esboço rápido da curva.

Passo 2

Determinamos os pontos de interseção com o eixo x resolvendo
x(x^2 - 6x + 8) = 0
Logo, as raízes são x = 0, 2 e 4.

Passo 3

Analisamos o sinal de f(x)=x³ – 6x² + 8x em cada intervalo entre as raízes:
– Em 0 < x < 2: f(x)>0 (acima do eixo x).
– Em 2 < x < 4: f(x)<0 (abaixo do eixo x).

Passo 4

Montamos a área como a soma das áreas absolutas:
A = ,integral0^2 (x^3 - 6x^2 + 8x),dx ;- ,integral2^4 (x^3 - 6x^2 + 8x),dx

Passo 5

Calculamos a primitiva
F(x) = x^44 - 2x^3 + 4x^2
Avaliaremos:
integral0^2 f(x),dx = F(2)-F(0) = 4, integral2^4 f(x),dx = F(4)-F(2) = -4
Portanto,
A = 4 - (-4) = 8

Resposta

8

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