Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Então calcule a área da região.
(i)
eixo
(i)
Passo 1
O enunciado pede o esboço da região limitada por y = x³ – 6x² + 8x e pelo eixo x (y = 0) e, em seguida, calcular sua área por integração. Vamos usar integração em x e um esboço rápido da curva.
Passo 2
Determinamos os pontos de interseção com o eixo x resolvendo
Logo, as raízes são x = 0, 2 e 4.
Passo 3
Analisamos o sinal de f(x)=x³ – 6x² + 8x em cada intervalo entre as raízes:
– Em 0 < x < 2: f(x)>0 (acima do eixo x).
– Em 2 < x < 4: f(x)<0 (abaixo do eixo x).
– Em 0 < x < 2: f(x)>0 (acima do eixo x).
– Em 2 < x < 4: f(x)<0 (abaixo do eixo x).
Passo 4
Montamos a área como a soma das áreas absolutas:
Passo 5
Calculamos a primitiva
Avaliaremos:
Portanto,
Resposta
8