Considere o seguinte
:
Considerando a solução
assinale a alternativa correta:
a)
b)
c)
é descontínua em ao menos um ponto de
.
d)
é diferenciável em
e tem imagem limitada.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial
com a condição inicial
. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Vamos precisar resolver essa equação para achar a função
e depois ver qual das alternativas está certa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma
. No nosso caso, temos:
Então,
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar o fator integrante, que é
. Calculando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos integrar os dois lados em relação a
:
Vamos resolver essa integral usando partes ou substituição.
Passo 6
Resolvendo a integral:
Separando as integrais:
Usando integração por partes, encontramos:
Multiplicando por
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Então, a solução geral é:
Passo 7
Vamos analisar as alternativas com a solução encontrada:
- a)
Calculando
:
- b)
Calculando:
- c)
é descontínua em ao menos um ponto de
Nossa solução é uma função contínua, pois é composta de funções contínuas.
- d)
é diferenciável em e tem imagem limitada
A função
é diferenciável em todo
. Contudo, como
cresce sem limite, a imagem não é limitada.
- e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta
Como a alternativa d) tem parte correta (diferenciável em
) mas a imagem não é limitada, a resposta correta é:
Resposta
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.