Considere o seguinte P V I :
y^prime-2 y=2 x(1-x), y(0)=-1
Considerando a solução y(x) assinale a alternativa correta:
a) y(1)=1-e
b) y(12)=1-4 e4
c) y(x) é descontínua em ao menos um ponto de R.
d) y(x) é diferenciável em R e tem imagem limitada.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial com a condição inicial . O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Vamos precisar resolver essa equação para achar a função e depois ver qual das alternativas está certa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma y' - 2y = 2x(1 - x) . No nosso caso, temos:
Então, e .

Passo 3

Agora, vamos achar o fator integrante, que é mu(x) = e^integral -2 dx = e^-2x . Calculando:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^-2x y' - 2e^-2x y = 2x(1 - x)e^-2x
Isso simplifica para:
ddx ( e^-2x y ) = 2x(1 - x)e^-2x

Passo 5

Vamos integrar os dois lados em relação a e^-2x y = integral 2x(1 - x)e^-2x dx + C :
Vamos resolver essa integral usando partes ou substituição.

Passo 6

Resolvendo a integral:
integral 2x(1 - x)e^-2x dx = integral (2x - 2x^2)e^-2x dx
Separando as integrais:
2 integral x e^-2x dx - 2 integral x^2 e^-2x dx
Usando integração por partes, encontramos:
e^-2x y = ( -x e^-2x - 12 e^-2x ) + C
Multiplicando por y = -x - 12 + Ce^2x :
-1 = -0 - 12 + C Rightarrow C = -12
Agora, aplicamos a condição inicial y(x) = -x - 12 - 12 e^2x :
Então, a solução geral é:

Passo 7

Vamos analisar as alternativas com a solução encontrada:
  • a) y(1) = -1 - 12 - 12 e^2 neq 1 - e
Calculando y(12) = -12 - 12 - 12 e^1 = -1 - e2 neq 1 - 4e4 :
  • b)
Calculando:
  • c) é descontínua em ao menos um ponto de
Nossa solução é uma função contínua, pois é composta de funções contínuas.
  • d) é diferenciável em e tem imagem limitada
A função é diferenciável em todo . Contudo, como cresce sem limite, a imagem não é limitada.
  • e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta
Como a alternativa d) tem parte correta (diferenciável em ) mas a imagem não é limitada, a resposta correta é:

Resposta

e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

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