Calcule as integrais abaixo:
integral duplaD y d A, D é limitada por y=x-2, x=y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD y , dA, onde a região D é delimitada pelas curvas y = x - 2 e x = y^2. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração sobre regiões delimitadas por curvas. Para isso, precisamos entender como essas curvas se intersectam e definir os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas y = x - 2 e x = y^2. Substituindo x da segunda equação na primeira, temos:
y = y^2 - 2
Rearranjando:
y^2 - y - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
y = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, os pontos de interseção são y = 2 e y = -1, correspondendo a x = 4 e x = 1, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos esboçar as curvas para entender melhor a região D. A parábola x = y^2 abre para a direita, e a reta y = x - 2 tem inclinação positiva e intercepta o eixo y em -2. A região D está entre y = -1 e y = 2, e para cada y, x varia de y^2 até y + 2.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. A integral em x vai de x = y^2 até x = y + 2, e a integral em y vai de y = -1 até y = 2. Assim, temos:
integral duplaD y , dA = integral-1^2 integraly^2^y + 2 y , dx , dy

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a x primeiro. Como y é constante em relação a x, a integral fica:
integraly^2^y + 2 y , dx = y [ x ]y^2^y + 2 = y ( (y + 2) - y^2 ) = y (y + 2 - y^2)
Simplificando:
y ( -y^2 + y + 2 ) = -y^3 + y^2 + 2y

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y de -1 a 2:
integral-1^2 (-y^3 + y^2 + 2y) , dy = integral-1^2 -y^3 , dy + integral-1^2 y^2 , dy + integral-1^2 2y , dy
Calculando cada integral separadamente:
  1. integral -y^3 , dy = -y^44
  2. integral y^2 , dy = y^33
  3. integral 2y , dy = y^2

Passo 7

Aplicando os limites de -1 a 2:
  1. -(2)^44 + (-1)^44 = -164 + 14 = -4 + 0.25 = -3.75
  2. (2)^33 - (-1)^33 = 83 - (-13) = 83 + 13 = 3
  3. (2)^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3
Somando tudo: -3.75 + 3 + 3 = 2.25

Resposta

O valor da integral dupla é 2.25.

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