Calcule as integrais abaixo:
, D é limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelas curvas
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração sobre regiões delimitadas por curvas. Para isso, precisamos entender como essas curvas se intersectam e definir os limites de integração adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas
e
. Substituindo
da segunda equação na primeira, temos:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos de interseção são
e
, correspondendo a
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos esboçar as curvas para entender melhor a região
. A parábola
abre para a direita, e a reta
tem inclinação positiva e intercepta o eixo y em
. A região
está entre
e
, e para cada
,
varia de
até
.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. A integral em
vai de
até
, e a integral em
vai de
até
. Assim, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro. Como
é constante em relação a
, a integral fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Calculando cada integral separadamente:
Passo 7
Aplicando os limites de
a
:
Somando tudo:
Resposta
O valor da integral dupla é
.