Considerando y=y(t), obtenha a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+2 \sqrt{2} y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + 2\sqrt{2}\,y' + 2\,y = 0.
Vamos usar o método do polinômio característico para resolver.

Passo 2

Associamos à equação o polinômio característico
r^2 + 2\sqrt{2}\,r + 2 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante \Delta do polinômio:
\Delta = (2\sqrt{2})^2 - 4\cdot1\cdot2 = 8 - 8 = 0.
Como \Delta=0, há raiz dupla, dada por
r = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}.

Passo 4

Para raiz real dupla r=-\sqrt{2}, a forma da solução geral é
y(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{r\,t} = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-\sqrt{2}\,t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-\sqrt{2}\,t}.

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