Sendo y=y(t), obtenha a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' + 2y = 0
O conteúdo necessário é o método de equação característica, que consiste em assumir solução da forma y=e^{rt}.

Passo 2

Assumindo y=e^{rt}, temos
y' = r\,e^{rt},\quad y'' = r^2\,e^{rt}
Substituindo em y'' - y' + 2y = 0 elimina-se o fator e^{rt} (não nulo) e obtém-se a equação característica
r^2 - r + 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - r + 2 = 0
pelo discriminante \Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot2 = 1 - 8 = -7, vem
r = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{i\sqrt{7}}{2}.

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r = \alpha \pm i\beta com \alpha=\tfrac12 e \beta=\tfrac{\sqrt7}{2}, a solução geral é
y(t) = e^{\alpha t}\bigl(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)\bigr) = e^{\frac{t}{2}}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)\Bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = e^{\frac{t}{2}}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)\Bigr).

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