Sendo y=y(t), obtenha a solução geral das seguintes equações diferenciais:
2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2\,y''-3\,y'+3\,y=0.
O método a usar é o do polinômio característico, que nos permite transformar a ED num polinômio em r.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{rt}. Substituindo em 2\,y''-3\,y'+3\,y=0 e cancelando o fator comum e^{rt} (que nunca é zero), obtemos o polinômio característico
2\,r^{2}-3\,r+3=0.

Passo 3

Calculamos o discriminante desse polinômio:
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot2\cdot3 = 9 -24 = -15.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas
r = \frac{3\pm i\sqrt{15}}{4}.

Passo 4

Para raízes r=\alpha\pm i\beta com \alpha=\tfrac{3}{4} e \beta=\tfrac{\sqrt{15}}{4}, a solução geral real é
y(t) = e^{\alpha t}\bigl(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\bigr).
Substituindo \alpha e \beta, fica
y(t) = e^{\tfrac{3}{4}t}\Bigl(C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}t\bigr)+C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}t\bigr)\Bigr).

Resposta

y(t) = e^{\tfrac{3}{4}t}\Bigl(C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}t\bigr)+C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}t\bigr)\Bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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