Considerando que o par de funções fornecido são soluções da mesma EDO linear homogênea de 2a Ordem, calcule o wronskiano.
(a) e^{2 t} e e^{-3 t / 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o wronskiano do par de funções fornecido. As informações fornecidas são:
y_1(t)=e^{2t}
y_2(t)=e^{-3t/2}
A tarefa é calcular o wronskiano W(t) dessas duas funções.

Passo 2

Definição e ideia: para duas funções y_1(t) e y_2(t) o wronskiano W(t) é o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas:
W(t)= \begin{vmatrix} y_1(t) & y_2(t)\\[4pt] y_1'(t) & y_2'(t) \end{vmatrix} = y_1(t)\,y_2'(t)-y_2(t)\,y_1'(t).
Aqui y_1'(t) e y_2'(t) são as derivadas em relação a t. Vou aplicar essa fórmula diretamente.]

Passo 3

Calcular as derivadas usando a regra básica: a derivada de e^{a t} é a e^{a t}.
y_1'(t)=\frac{d}{dt}e^{2t}=2e^{2t}.
y_2'(t)=\frac{d}{dt}e^{-3t/2}=-\tfrac{3}{2}e^{-3t/2}.

Passo 4

Substituir na fórmula do wronskiano e simplificar passo a passo:
W(t)=e^{2t}\left(-\tfrac{3}{2}e^{-3t/2}\right)-e^{-3t/2}\left(2e^{2t}\right).
Fatorando o termo comum e^{2t}e^{-3t/2}:
W(t)=e^{2t}e^{-3t/2}\left(-\tfrac{3}{2}-2\right).
Calcular a soma dos coeficientes:
-\tfrac{3}{2}-2=-\tfrac{3}{2}-\tfrac{4}{2}=-\tfrac{7}{2}.
Combinar os expoentes:
e^{2t}e^{-3t/2}=e^{(4t/2-3t/2)}=e^{t/2}.
Portanto
W(t)=-\tfrac{7}{2}e^{t/2}.
Observação didática rápida: como W(t) é diferente de zero para todo t, isso mostra que as duas soluções são linearmente independentes (útil numa EDO de 2ª ordem).

Resposta

-\dfrac{7}{2}e^{t/2}

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