f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2|x|+3}{2 x-3}, & \text { se } x \neq \frac{3}{2} \\\\ 0, & \text { se } x=\frac{3}{2} \end{array}\right.
(a) (5 pontos) Todos os números reais x \in] 0, \frac{5}{2}[ satisfazem a inequação f(x) \geq|x-1| ?
(b) (10 Pontos) A função f(x) é contínua em x_{0}=\frac{3}{2} ?
(c) (10 Pontos) Existe a derivada f^{\prime}(x) no ponto x=2 ?
e pede três coisas:
(a) Verificar se todos os números reais x\in\left]0,\dfrac{5}{2}\right[ satisfazem a inequação f(x)\ge |x-1|.
(b) Determinar se f é contínua em x_0=\dfrac{3}{2}.
(c) Verificar se existe f'(2) (a derivada em x=2) e, se existir, calcular seu valor.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a definição de f por partes (com valor especial em x=\tfrac{3}{2}) e o intervalo onde devemos testar a inequação \left]0,\tfrac{5}{2}\right[. Note que para x>0 temos |x|=x, portanto dentro do intervalo dado podemos substituir |x| por x.]
Passo 2
Primeira observação técnica (útil para a parte (a) e para continuidade): dentro do intervalo considerado \left]0,\tfrac{5}{2}\right[ vale |x|=x. Logo, para todo x\neq \dfrac{3}{2} em \left]0,\tfrac{5}{2}\right[ a expressão de f reduz-se a
f(x)=\frac{2x+3}{2x-3}.
Também observe que o denominador 2x-3 anula-se em x=\dfrac{3}{2}, o que causa comportamento singular ali (isso será importante na análise da continuidade). Para a inequação precisamos comparar \dfrac{2x+3}{2x-3} com |x-1|; dentro do intervalo \left]0,\tfrac{5}{2}\right[ temos duas possibilidades para |x-1|: para 0<x<1, |x-1|=1-x; para x\ge 1, |x-1|=x-1. Vamos tratar casos.
Passo 3
Análise do caso 0<x<1 (que está dentro de \left]0,\tfrac{5}{2}\right[ e também com 2x-3<0 pois x<\tfrac{3}{2}). A inequação é
\frac{2x+3}{2x-3}\ge 1-x.
Multiplicando ambos os lados por 2x-3 exige cuidado: como 2x-3<0 o sinal da desigualdade inverte-se. Assim obtemos
2x+3\le (1-x)(2x-3).
Desenvolvendo o lado direito:
(1-x)(2x-3)=2x-3-2x^2+3x=-2x^2+5x-3.
Portanto a desigualdade vira
2x+3\le -2x^2+5x-3.
Reorganizando todos os termos para o lado direito:
0\le -2x^2+5x-3-2x-3=-2x^2+3x-6.
Multiplicando por -1 (novamente invertendo o sinal):
0\ge 2x^2-3x+6.
O polinômio do lado direito tem discriminante \Delta = (-3)^2-4\cdot2\cdot6=9-48=-39<0 e coeficiente líder positivo, logo 2x^2-3x+6>0 para todo x. Assim a desigualdade 0\ge 2x^2-3x+6 é impossível. Conclusão: nenhum x em (0,1) satisfaz a inequação. (Um contraexemplo numérico: para x=\tfrac12 temos f(\tfrac12)=\dfrac{2\cdot\frac12+3}{2\cdot\frac12-3}=\dfrac{4}{-2}=-2 e |\tfrac12-1|=\tfrac12, e -2\ge\tfrac12 é falso.)
Passo 4
Análise do caso 1\le x<\dfrac{3}{2}. Aqui |x-1|=x-1 e ainda 2x-3<0. A inequação é
\frac{2x+3}{2x-3}\ge x-1.
Multiplicando pelos 2x-3<0 (inverte-se a desigualdade) obtemos
No intervalo 1\le x<\tfrac{3}{2} temos x>0 e 2x-7<0 (pois 2\cdot\tfrac{3}{2}-7=3-7=-4), então o produto x(2x-7)<0. Assim a desigualdade não é satisfeita. Conclusão: nenhum x em [1,\tfrac{3}{2}) satisfaz a inequação. (Ex.: x=1 dá f(1)=\dfrac{5}{-1}=-5 e |1-1|=0, e -5\ge 0 é falso.)
Passo 5
Análise do ponto x=\dfrac{3}{2}. Pelo enunciado f\big(\tfrac{3}{2}\big)=0. Calcule |x-1| nesse ponto:
No intervalo \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}\right) temos x>0 e 2x-7<0 (porque 2\cdot\tfrac{5}{2}-7=5-7=-2), então o produto x(2x-7) é negativo e a desigualdade x(2x-7)\le 0 é satisfeita para todo x nesse intervalo. Conclusão: toda x em \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}\right) satisfaz a inequação.
Passo 7
Resumo da parte (a) baseado nos casos:
Para 0<x<\tfrac{3}{2} (isto é, para todos os x de (0,\tfrac{3}{2})) a inequação não é satisfeita.
Em x=\tfrac{3}{2} a inequação também não é satisfeita.
Para \tfrac{3}{2}<x<\tfrac{5}{2} a inequação é satisfeita.
Logo a resposta à pergunta “Todos os números reais x\in\left]0,\tfrac{5}{2}\right[ satisfazem f(x)\ge|x-1|?” é NÃO — apenas os x estritamente maiores que \tfrac{3}{2} e menores que \tfrac{5}{2} satisfazem.
Passo 8
Agora a parte (b): recordando a definição de continuidade em um ponto x_0: f é contínua em x_0 se e somente se \lim_{x\to x_0} f(x) existe e é igual a f(x_0). Para x_0=\dfrac{3}{2} temos f\big(\tfrac{3}{2}\big)=0 pelo enunciado. Vamos calcular os limites laterais de f(x) quando x\to \tfrac{3}{2} usando a expressão \dfrac{2x+3}{2x-3} válida para x\neq \tfrac{3}{2}.
Passo 9
Cálculo do limite lateral pela esquerda x\to\left(\tfrac{3}{2}\right)^-. Para x próximo de \tfrac{3}{2} à esquerda temos 2x-3<0 pequeno em magnitude, e o numerador tende para
2x+3\to 2\cdot\frac{3}{2}+3=3+3=6.
Assim a fração \dfrac{2x+3}{2x-3} tem numerador tendendo a 6 e denominador tendendo a 0^-, o que implica
Cálculo do limite lateral pela direita x\to\left(\tfrac{3}{2}\right)^+. Agora 2x-3>0 pequeno em magnitude, o numerador novamente tende a 6, e a fração tende a +\infty:
Como os limites laterais são infinitos e, o que é mais importante, diferentes entre si, o limite \lim_{x\to \tfrac{3}{2}} f(x) não existe como número finito. Portanto não pode ser igual a f\big(\tfrac{3}{2}\big)=0. Conclusão da parte (b): f não é contínua em x_0=\dfrac{3}{2}.
Passo 12
Parte (c): existência de f'(2). Como x=2 é um ponto do domínio onde x\neq \tfrac{3}{2} e a expressão para f é racional e suave ali, podemos calcular a derivada por regra do quociente. Relembrando a regra do quociente: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui podemos tomar u(x)=2x+3 e v(x)=2x-3. Então u'(x)=2 e v'(x)=2. Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{2(2x-3)-(2x+3)2}{(2x-3)^2}.
Passo 13
Calcule o numerador explicitamente:
2(2x-3)-(2x+3)2=(4x-6)-(4x+6)=4x-6-4x-6=-12.
Logo, para x\neq \tfrac{3}{2},
f'(x)=\frac{-12}{(2x-3)^2}.
Este é um valor bem definido e finito para x=2 (pois 2x-3\neq 0 em x=2). Substituindo x=2:
(a) Não. A inequação é satisfeita apenas para x\in\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}\right).
(b) Não, f não é contínua em x_0=\tfrac{3}{2}.
(c) Sim. f'(2)=-12.